Matrizen auf lineare Abhängigkeit prüfen

11.12.2010, 19:09	VirusCRO	Auf diesen Beitrag antworten »
Matrizen auf lineare Abhängigkeit prüfen Hallo zusammen, Ich habe 3 Matrizen und möchte prüfen ob diese linear unabhängig im Vektorraum 3x3 sind. A= $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 2 & -6 & 6 \\ 3 & -7 & 6 \\ 3 & -6 & 5 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ B= $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 4 & -6 & 6 \\ 3 & -5 & 6 \\ 3 & -6 & 7 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ C= $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Ich weiß dass ich auf folgendes prüfen muss: rA+sB+tC=0 Ich suche also ein r,s,t sodass diese Gleichung erfüllt ist. Das heißt ja für meine Matrix, dass die Summe der Matrizen 0 ergibt. Ich hab nun versucht für jede Zeile eine Gleichung aufzustellen, indem ich aus jeder Matrixzeile einen Vektor bilde. Also so: $\begin{eqnarray} r\begin{pmatrix} 2 \\ -6 \\ 6 \end{pmatrix} + s\begin{pmatrix} 4 \\ -6 \\ 6 \end{pmatrix} + t\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} = 0 \end{eqnarray}$ Das ergibt: $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 2 & 4 & 1 \\ -6 & -6 & 0 \\ 6 & 6 & 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ Man sieht wenn man die 2. und 3. Zeile addiert kommt dann eine Nullzeile raus. Meine Frage: ist das richtig was ich hier mache und gibt es vielleicht einen anderen (einfacheren) Weg? Vielen Dank
11.12.2010, 21:34	Risuku	Auf diesen Beitrag antworten »
Es gibt einen Isomorphismus der jeder mxn Matrix einen Vektor im $\begin{eqnarray} K^{mn} \end{eqnarray}$ zuordnet. Das heißt: Schreibe deine Matrizen um in Vektoren im $\begin{eqnarray} \mathbb R^{33} \end{eqnarray}$ Also alle Spalten untereinander schreiben und dann wie Vektoren behandeln. Gruß
11.12.2010, 22:11	VirusCRO	Auf diesen Beitrag antworten »
Also soweit ich es verstanden habe, soll ich es so schreiben: $\begin{eqnarray} A= \begin{pmatrix} 2 \\ 3 \\ 3 \\ -6 \\ -7 \\ -6 \\6 \\ 6\\ 5 \end{pmatrix} B= \begin{pmatrix} 4 \\ 3 \\ 3 \\ -6 \\ -5 \\ -6 \\6 \\ 6\\ 7 \end{pmatrix} C= \begin{pmatrix} 1\\ 0 \\ 0 \\ 0 \\ 1 \\ 0 \\0 \\ 0\\ 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Was muss ich jetzt machen? Lösung für einige Zeilen finden und dann in die anderen einsetzen oder wie?
11.12.2010, 22:43	Risuku	Auf diesen Beitrag antworten »
$\begin{eqnarray} a \begin{pmatrix} 2 \\ 3 \\ 3 \\ -6 \\ -7 \\ -6 \\6 \\ 6\\ 5 \end{pmatrix} + b* \begin{pmatrix} 4 \\ 3 \\ 3 \\ -6 \\ -5 \\ -6 \\6 \\ 6\\ 7 \end{pmatrix} + c* \begin{pmatrix} 1\\ 0 \\ 0 \\ 0 \\ 1 \\ 0 \\0 \\ 0\\ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0\\ 0 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \\0 \\ 0\\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ Einfache Überprüfung auf lineare Unabhängigkeit. Hoffe damit hast du keine Probleme. (a=b=c=0 als einzige Lösung.) Lineares Gleichungssystem lösen ist angesagt!
11.12.2010, 23:41	VirusCRO	Auf diesen Beitrag antworten »
Danke...habs so gemacht: $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 2 & 4 & 1 \\ 3 & 3 & 0 \\ -6 & -6 & 0 \\ -7 & -5 & 1 \\ 6 & 6 & 0 \\ 5 & 7 & 1 \end{pmatrix}<br /> <br /> <br /> \begin{pmatrix} 2 & 4 & 1 \\ & -3 & -1,5 \\ 0 & 6 & 3 \\ 0 & 18 & 9 \\ 0 & -6 & -3 \\ 0 & 6 & 3 <br /> \end{pmatrix}<br /> <br /> \begin{pmatrix} 2 & 4 & 1 \\ & -3 & -1,5 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}<br /> \end{eqnarray}$ Die doppelten Zeilen habe ich einfach rausgenommen. Das darf man doch immer oder? In der letzten Matrix sieht man eine Nullzeile. Das heißt man kann ein Parameter frei wählen--> die Matrizen sind linear abhängig. Stimmts?
11.12.2010, 23:45	Risuku	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja doppelte Zeilen kannst du der Übersichthalber rausnehmen. Diese werden sowieso zu Nullzeilen. Habe deine Lösung nicht kontrolliert, aber aus deiner Lösung folgt lineare Abhängigkeit. Gruß
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12.12.2010, 00:22	VirusCRO	Auf diesen Beitrag antworten »
Gut...Vielen Dank

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