Repräsentantensystem und Vektorräume

11.12.2010, 20:07	El Rey	Auf diesen Beitrag antworten »
Repräsentantensystem und Vektorräume Meine Frage: hallo liebes forum ich hab hier folgende aufgabe wo ich absolut i-wie keinen ansatz finde Aufg: Sei V ein K-VR und U Teilraum von V a) Zeige, dass ein Teilraum U' von V genau dann ein Repräsentantensystem von V/U ist, wenn V = U + U' b) Sei W Teilraum von V ein weiterer Teilraum mit U Teilraum von W. Zeige das gilt W/U ist Teilraum von V/U Meine Ideen: ich weis das man bei a) eine Äquivalenz zu zeigen hat aber ich weis i-wie nich was das mit Repräsentantensystem zu tun hat. bitte schnelle hilfeeeeeeeeeeee
12.12.2010, 12:13	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Tipp: (a) läuft darauf hinaus, dass U' nicht zu klein sein darf. Wenn du die Definition des Quotientenraums V/U verstanden hast, ist das i-wie klar. Auch für (b) genügt es zu wissen, was ein Quotientenraum ist.
12.12.2010, 13:05	El Rey	Auf diesen Beitrag antworten »
quotientenraum hatten wir noch nich aber faktorraum geht das auch damit ??
12.12.2010, 13:07	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja, geht auch, denn das ist ein anderes Wort dafür.
13.12.2010, 13:39	Milumil	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich habe zufällig die gleiche Aufgabe und versteh sie leider trotz deiner Hilfestellung noch nicht, wie hab ich das zu verstehen?=/
13.12.2010, 14:11	Ichbinderkeks	Auf diesen Beitrag antworten »
Gleiches hier! :< Absolut aufgeschmissen - habe mir die Definitionen angeschaut aber kann dennoch die Äquivalenz nicht zeigen
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13.12.2010, 19:08	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Der Quotientenraum oder Faktorraum ist $\begin{eqnarray} V/U=\{[v]:v\in V\}=\{v+U:v\in V\} \end{eqnarray}$ . $\begin{eqnarray} [v]=v+U \end{eqnarray}$ heißt Nebenklasse nach $\begin{eqnarray} U \end{eqnarray}$ , und eine Vertretersystem aller Nebenklassen heißt Repräsentantensystem. Ein Vertretersystem enthält aus jeder Nebenklasse genau ein Element, eben den Vertreter oder Repräsentanten. An dieser Definition sieht man sofort, dass $\begin{eqnarray} V \end{eqnarray}$ ein Repräsentantensystem von $\begin{eqnarray} V/U \end{eqnarray}$ ist, denn $\begin{eqnarray} V/U \end{eqnarray}$ ist die Menge der Nebenklassen, die mit den Vertretern $\begin{eqnarray} v \in V \end{eqnarray}$ gebildet werden. Wegen $\begin{eqnarray} V=U+V \end{eqnarray}$ ist $\begin{eqnarray} V \end{eqnarray}$ ein Kandidat für $\begin{eqnarray} U' \end{eqnarray}$ in der Aufgabe. Ich empfehle Euch als motivierendes Beispiel den Anschauungsraum $\begin{eqnarray} V=\mathbb R^3=\{(x,y,z):x,y,z\in \mathbb R\} \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} U=\{ (x):x \in \mathbb R\}, U'=\{(y):y\in\mathbb R\},U''=\{(y,z):y,z\in \mathbb R\} \end{eqnarray}$ . Es ist $\begin{eqnarray} V/U \end{eqnarray}$ die Menge aller zu x-Achse parallelen Geraden im Raum. $\begin{eqnarray} U+U'=\{(x,y):x,y\in\mathbb R\} \end{eqnarray}$ , die x-y-Ebene, ist kleiner als $\begin{eqnarray} V \end{eqnarray}$ , die x-Achse in y-Richtung verschoben überdeckt nicht den ganzen Raum, und $\begin{eqnarray} U' \end{eqnarray}$ ist kein Vertretersystem von $\begin{eqnarray} V/U \end{eqnarray}$ , denn es gibt ja auch Vektoren in z-Richtung, in die man $\begin{eqnarray} U \end{eqnarray}$ verschieben kann. $\begin{eqnarray} U+U''=V \end{eqnarray}$ , und $\begin{eqnarray} U'' \end{eqnarray}$ ist ein Vertretersystem von $\begin{eqnarray} V/U \end{eqnarray}$ , weil man mit $\begin{eqnarray} (y,z) \end{eqnarray}$ -Vektoren die x-Achse überall im Raum positionieren kann.

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