Inverse einer Permutation

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Tsetsefliege Auf diesen Beitrag antworten »
Inverse einer Permutation
Zeige: Für alle n in den natürlichen Zahlen und jede Permutation gilt stets:



ist die Anzahl aller Inverse einer Permutation. Ich habe mir das zuerst anhand eines Beispiels angesehen.

Die Inverse der Permutation lauten (1,3), (1,5), (2,3), (2,4), (2,6), (2,7), (2,8), (4,5), (4,6). Insgesamt also 10.

Da finden wir genauso wieder 10 Inverse.

Ich weiß nur nicht wie ich das jetzt am besten zeige.
MI Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Inverse einer Permutation
Deine Definition von "Inverses einer Permutation" finde ich seltsam. Wie definierst du das?

Für mich gilt:

ist das Inverse einer Permutation genau dann, wenn gilt , wobei der Kreis die Multiplikation von Permutationen ausdrückt.

Danach kannst du zeigen, dass die so definierte Inverse jeder Permutation eindeutig ist.

Gruß
MI
Isomorphismus111 Auf diesen Beitrag antworten »

Also ich kenne nur die folgende Definition:

Eine Inversion einer Permutation ist ein Paar (i,j) mit i<j und .

Die Anzahl aller Inversionen von wird mit bezeichnet.Alternativ kannst du auch schreiben.

Und jetzt noch zu . Auf unser Beispiel bezogen wäre das

Tsetsefliege Auf diesen Beitrag antworten »

Kann mir denn niemand weiterhelfen?
Reksilat Auf diesen Beitrag antworten »

Zeige, dass für jede Inversion immer eine Inversion für ist.
Anschließend musst Du nur noch zeigen, dass es keine weiteren Inversionen geben kann.

Gruß,
Reksilat.
Tsetsefliege Auf diesen Beitrag antworten »

Ich hätte mir das folgendermaßen überlegt:

Für ein Inversionspaar (i,j) muss gelten: i<j und p(i)>p(j)
Hier muss für ein Inversionspaar (i,j) gelten: i<j und p(j)>p(i)

Das würde doch genügen od.? Und wie zeige ich das es keine weiteren Inversionen mehr geben kann?
 
 
Reksilat Auf diesen Beitrag antworten »

Wenn Du schon eine Darstellung bringst, dann solltest Du auch
a) sagen, was diese sind (Transpositionen?)
b) diese Darstellung auch verwenden und nicht einfach von schreiben.

Alles in allem hat das aber mit meinem Hinweis nicht viel zu tun.
Tsetsefliege Auf diesen Beitrag antworten »

Nein, keine Transpositionen. Ang. wir schauen uns die Permutation 31524 an. p1 = 3, p2=1 usw. Diese Permutation hätte dann die folgenden Inversionen: (3,1), (3,2), (5,2) und (5,4)
Reksilat Auf diesen Beitrag antworten »

Deine Bezeichnungen sind leider völlig inkonsistent, was bei solchen Beweisen fatal ist, da man ziemlich exakt argumentieren muss. Du solltest nicht innerhalb eines Beweises zwei verschiedene Schreibweisen für Permutationen anbringen.

Wie dem auch sei: bin für heute weg.

Gruß,
Reksilat.
Tsetsefliege Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, das mit der anderen Notation war nicht gut von mir. Ich komme trotzdem nicht dahinter wie ich am besten zeige das für jede Inversion immer eine Inversion für ist.
Reksilat Auf diesen Beitrag antworten »

Dafür musst Du nur die Definition geradeaus anwenden. Wann ist ein Paar ein Inversion für ? Gilt das für ?

Gruß-,
Reksilat.
Tsetsefliege Auf diesen Beitrag antworten »

Nunja... ist eine Inversion für wenn n < k und

Aber auch nur dann wenn =
Reksilat Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Tsetsefliege
Nunja... ist eine Inversion für wenn n < k und

Richtig. Nun setze , und prüfe nach, dass eine Inversion für ist.

Dann hast Du jeder Inversion von eindeutig eine Inversion von zugeordnet.

Wenn Du nun noch die andere Richtung gehst (also jeder Inversion von eindeutig eine Inversion von zuordnest), bist Du fertig.

Gruß,
Reksilat.
wisili Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Inverse einer Permutation
Zitat:
Original von Tsetsefliege
... ist die Anzahl aller Inverse einer Permutation.

Sagt man dem nicht «Inversionen» statt «Inversen»?

Edit: Sorry, habe übersehen, dass das bereits geklärt wurde.
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