finite differenzen

11.12.2010, 22:28	pigof	Auf diesen Beitrag antworten »
finite differenzen Hi, ich betrachte die 1D - Wärmeleitungsgleichung $\begin{eqnarray} u_t=u_{xx} \end{eqnarray}$ Wenn ich diese diskretisiert mit der Zeitschrittweite k und Ortsschrittweite h und der Notation $\begin{eqnarray} u(x,t) = u_j^i, u(x+h,t+k) = u_{j+1}^{i+1} \end{eqnarray}$ bekomme ich ja $\begin{eqnarray} u_j^{i+1} = k(u_{j+1}^i - 2u_j^i + u_{j-1}^i)/h^2 + u_j^i \end{eqnarray}$ soweit so gut: wenn ich jetzt aber ein beschränktes Intervall habe auf dem ich die Gleichung Lösen will. z.B. $\begin{eqnarray} x \in [0,L] \end{eqnarray}$ und ich habe als Randbedingungen homogene Neumannrandbedingungen. $\begin{eqnarray} u(0,t)_x = u(L,t)_x = 0 \end{eqnarray}$ Wie bekomme ich die dann in meine Gleichungen? Schonmal vielen dank für eure Hilfe
12.12.2010, 10:31	system-agent	Auf diesen Beitrag antworten »
Du musst auf irgendeine Art auch in den Randbedingungen die Ableitungen diskretisieren. Zum Beispiel am linken Rand mit dem Rückwärtsdifferenzenquotienen [siehe zb hier].
12.12.2010, 13:12	pigof	Auf diesen Beitrag antworten »
ja ok also zb wenn ich jetzt sage: $\begin{eqnarray} (u_1^i - u_{-1}^i)/2h \end{eqnarray}$ => $\begin{eqnarray} u_{-1}^i = u_1^i \end{eqnarray}$ kann ich das ja einsetzen $\begin{eqnarray} u_0^{i+1} = k(u_{1}^i - 2u_0^i + u_{-1}^i)/h^2 + u_0^ i= k(u_{1}^i - 2u_0^i + u_{1}^i)/h^2 + u_0^i \end{eqnarray}$ .... ist das wirklich richtig: zb. ich habe Anfangswerte: $\begin{eqnarray} u(.,0) = u^0 \end{eqnarray}$ , die sind gegeben ich will ja das gilt: $\begin{eqnarray} (u_0^{1} - u_1^{1})/h = 0 \end{eqnarray}$ was ja da oben nicht gegeben ist.
12.12.2010, 14:32	system-agent	Auf diesen Beitrag antworten »
Darf ich fragen was du da tust? Was soll denn $\begin{eqnarray} u^i_{-1} \end{eqnarray}$ sein? Das hast du doch garnicht. Natürlich könnte man sich das irgendwie zurechtdefinieren, aber meistens ist das eine schlechte Idee. Nochmals: Zum Beispiel für den linken Rand, wähle $\begin{eqnarray} u_x(0,t)\approx\frac{u_0^i-u_1^i}{h} \end{eqnarray}$ , also kannst du hier $\begin{eqnarray} \frac{u_0^i-u_1^i}{h}=0 \end{eqnarray}$ setzen und damit weiterrechnen. Für den rechten Rand könntest du $\begin{eqnarray} \frac{u_{N-1}^i-u_N^i}{h} \end{eqnarray}$ nutzen.
12.12.2010, 15:10	pigof	Auf diesen Beitrag antworten »
ok, aber wie bringe ich das dann in meinen Gleichungen unter außerdem habe ich für j = 0 ja auch $\begin{eqnarray} u_0^{i+1} = k(u_{1}^i - 2u_0^i + u_{-1}^i)/h^2 + u_0^i \end{eqnarray}$ da ja ein -1 stehen irgendwas muss ich ja damit machen oder meinst du einfach $\begin{eqnarray} u_0^i = u_1^i \end{eqnarray}$ setzen am Rand?
12.12.2010, 15:44	system-agent	Auf diesen Beitrag antworten »
Tut mir leid, da hatte ich mich verhaspelt . Ja, in deinem Differenzenstern stösst du tatsächlich auf Knoten die nicht in deinem Gitter liegen, wie zb $\begin{eqnarray} u_{-1}^i \end{eqnarray}$ . Wenn du dann, wie du es einmal vorhattest, den zentralen Differenzenquotienten $\begin{eqnarray} \frac{u_1^i-u_{-1}^i}{2h}\approx u_x(0,t) \end{eqnarray}$ nutzt, kannst du damit natürlich das $\begin{eqnarray} u_{-1}^i \end{eqnarray}$ in $\begin{eqnarray} u_0^{i+1} = k\frac{u_{1}^i - 2u_0^i + u_{-1}^i}{h^2} + u_0^i \end{eqnarray}$ damit ersetzen. Entsprechend dann am rechten Rand. Ich hatte mich verwirren lassen, weil im Differenzenstern auch ein $\begin{eqnarray} u_0^i \end{eqnarray}$ vorkommt und dieses dann vielleicht Probleme machen könnte, aber dem ist nicht so. Du musst die Gleichung damit auch auf dem Rand des Gebietes lösen. Um das tun zu können brauchst du noch $\begin{eqnarray} u_0^0 \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} u_N^0 \end{eqnarray}$ , aber diese hast du sicher gegeben, denn normalerweise gibt man noch eine Anfangstemperaturverteilung vor, dh $\begin{eqnarray} u(x,0) \end{eqnarray}$ ist gegeben. Dann ist natürlich $\begin{eqnarray} u_0^0=u(0,0) \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} u_N^0=u(L,0) \end{eqnarray}$ .
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12.12.2010, 17:22	pigof	Auf diesen Beitrag antworten »
ja klar die habe ich gegeben danke vielmals

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