wann linear abhängig? |
| 11.12.2010, 23:04 | fab123 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
| wann linear abhängig? ich sitze mal wieder auf dem schlauch... WANN sind 2 oder mehrere vektoren mit einander linear abhängig? wenn sie orthagonal sind? sprich: das scalarprodukt = 0 ist?? lg und vielen dank |
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| 11.12.2010, 23:09 | Risuku | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Orthogonalität: Genau... Orthogonal genau dann wenn sie im Skalarprodukt 0 ergeben. Lineare Abhängigkeit: Vektoren v, w sind abhängig, genau dann wenn es einen Koeffizienten gibt (meist eine reele Zahl) mit: v = a*w (oder halt umgekehrt... wie es dir passt) Gruß |
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| 11.12.2010, 23:22 | fab123 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
verstehe nicht ganz, was du meinst... also "ja"? lg und danke für die antwort |
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| 11.12.2010, 23:33 | Iorek | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
| RE: wann linear abhängig? Um das zu präzisieren:
Zwei Vektoren stehen senkrecht aufeinander, wenn das Skalarprodukt 0 ergibt, ja. Das hat aber nichts mit der Unabhängigkeit zu tun, lies dir dazu nochmal Risukus Beitrag durch. |
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| 12.12.2010, 00:06 | Eierkopf | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Nicht dass es einen Denkfehler geben wird. Risuku schließt aus der Linearen Kombinierbarkeit auf die Lineare Abhängigkeit. Das ist möglich. Dies ist aber keine "genau dann, wenn" Beziehung, wobei ohnehin vorauszusetzen ist, dass keiner der Vektoren der Nullvektor ist. Beispiel des R3 (auch von fab123 angesprochen): Gegeben seine drei Vektoren u,v,w, wobei u und v gegenseitig linear kombinierbar sind, aber w nicht aus einem der beiden. Diese Vektoren sind linear abhängig, aber w lässt sich nicht als LK aus den beiden anderen darstellen. Machte man also den Ansatz mit w=au+bv ohne eine Lösung zu finden, wäre die vergleichbare Schlussfolgerung von oben unbrauchbar. Daher bitte auch oben folgendes benutzen: u und v sind linear abhängig, genau dann, wenn die Gleichung au + bv =0 eine nichttriviale Lösung (a,b) besitzt. Gruß E |
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| 12.12.2010, 18:30 | fab123 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
| RE: wann linear abhängig? danke für eure antworten. so, wie ich es nun verstanden habe, überprüfe ich es folgendermaßen: bsp.: 1 3 -1 1 0 -4 1 5 1 (das sind die 3 vektoren) die matrix würde dann so aussehen: 1 3 -1 l 0 1 0 -4 l 0 1 5 1 l 0 als ergebnis bekomme ich am ende 0=0 raus, also, dass es unendlich viele lösungen gibt. damit wären die vektoren linear abhängig? lg und sorry für meine unwissenheit |
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| 12.12.2010, 18:33 | Iorek | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Ja, du bekommst hier unendlich viele nicht-triviale Kombinationen für den Nullvektor, also sind die drei Vektoren linear abhängig. |
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| 12.12.2010, 19:07 | fab123 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
super, vielen dank! also muss ich die vektoren (die ich überprüfen will) immer gleich null setzen (so, wie ich es in der matrix gemacht habe), dann wie gewohnt ausrechnen und anhand der lösungen kann man sagen, ob sie linear ab- oder unabhängig sind? unendlich viele lösungen = abhängig eine lösung = abhängig keine lösung = unabhängig ...richtig? lg und vielen dank für die hilfe! |
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| 12.12.2010, 19:13 | Iorek | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Nein, das ist so nicht richtig. Es gibt immer eine Lösung, nämlich die triviale Lösung wo alle Koeffizienten 0 gesetzt werden. Wenn allerdings keine weitere Lösung existiert (auch nicht-triviale Lösung genannt), dann sind die Vektoren linear unabhängig. Außerdem: wenn du eine nicht-triviale Lösung hast, kannst du dir daraus unendlich viele weitere nicht-triviale Lösungen basteln. Du hast also entweder genau eine (die triviale) Lösung oder unendlich viele Lösungen. |
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| 12.12.2010, 20:20 | fab123 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
achso, wird die triviale lösung nicht auch "nulllösung" genannt? also kann man sagen, dass wenn es keine (weitere) lösung gibt, sind die linear unabhängig? lg |
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| 12.12.2010, 20:24 | baphomet | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
JA, so kann man das sagen. Bilde die Determinante deiner Vektoren und wenn als Lösung 0 rauskommt sind diese linear abhängig, ist die Determinante ungleich 0 sind sie linear unabhängig. n+1 Vektoren sind im R^n linear abhängig, ist ja logisch |
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| 12.12.2010, 20:27 | fab123 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
super, vielen dank an alle beteiligten. ich wünsche noch einen schönen abend! |
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