Bewertung von Körpern

11.12.2010, 22:52

Glühwürmchen

Bewertung von Körpern

Hallo,

ich würde gerne einen Tipp von euch zu folgender Aufgabe bekommen:

Es sei $\begin{eqnarray*} E|F \end{eqnarray*}$ eine algebraische Körpererweiterung und $\begin{eqnarray*} |.| \end{eqnarray*}$ eine Bewertung von $\begin{eqnarray*} E. \end{eqnarray*}$

Ich soll nun folgende Implikation beweisen:

$\begin{eqnarray*} |x|=1 \ \ \forall\ x \in F\setminus\left \{ 0 \right \}\quad \Rightarrow\quad |y|=1 \ \ \forall\ y \in E\setminus\left \{ 0 \right \} \end{eqnarray*}$

Ich weiß halt nur, wie eine Bewertung auf einem Körper definiert ist, nämlich ist das eine Abbildung $\begin{eqnarray*} |.| : K \to \mathbb R_{\geq 0} \end{eqnarray*}$ mit den drei Eigenschaften
$\begin{eqnarray*} |x|=0 \Leftrightarrow x=0 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} |x\cdot y|= |x|\cdot |y| \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} |x+y| \leq |x|+ |y| \end{eqnarray*}$
für alle $\begin{eqnarray*} x,y \in K \end{eqnarray*}$

Und dann weiß ich noch, dass für Elemente $\begin{eqnarray*} a_1,...,a_n \in K \end{eqnarray*}$ gilt: $\begin{eqnarray*} \left | \sum_{i=1}^n a_i \right | \leq \max\left \{ \left | a_i \right |,\ 1\leq i\leq n \right \} \end{eqnarray*}$

Ich bräuchte nur einen kleinen Tipp weil ich nicht weiß wie ich den Beweis beginnen soll.

Danke!
Viele Grüße,

Glühwürmchen

12.12.2010, 05:58

pseudo-nym

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RE: Bewertung von Körpern

Zitat:

Original von Glühwürmchen
$\begin{eqnarray*} |x|=1 \ \ \forall\ x \in F\setminus\left \{ 0 \right \}\quad \Rightarrow\quad |y|=1 \ \ \forall\ y \in E\setminus\left \{ 0 \right \} \end{eqnarray*}$

Zurest einmal gehören Quantoren vor die Aussage, die sie binden:
$\begin{eqnarray*} \forall\ x \in F\setminus\left \{ 0 \right \} : |x|=1 \quad \Rightarrow\quad \forall\ y \in E\setminus\left \{ 0 \right \} : |y|=1 \end{eqnarray*}$

Diese Implikation erscheint mir trivial, da $\begin{eqnarray*} E \subseteq F \end{eqnarray*}$ gilt. Willst du nicht vielleicht
$\begin{eqnarray*} \forall\ x \in E\setminus\left \{ 0 \right \} : |x|=1 \quad \Rightarrow\quad \forall\ y \in F\setminus\left \{ 0 \right \} : |y|=1 \end{eqnarray*}$
zeigen?

Falls ja, dann beachte, dass $\begin{eqnarray*} E|F \end{eqnarray*}$ algebraisch ist. Induktion kann auch nützlich sein.

12.12.2010, 11:24

Glühwürmchen

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Hallo.

Zitat:

Diese Implikation erscheint mir trivial, da $\begin{eqnarray*} E \subseteq F \end{eqnarray*}$ gilt.

Nein, es gilt $\begin{eqnarray*} F\subseteq E \end{eqnarray*}$ . Du hast dich verlesen. Diese Implikation ist nicht trivial.

12.12.2010, 11:43

pseudo-nym

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Da hat mich die Konvention Oberkörper mit Buchstaben, welche weiter hinten im Alphabet stehen zu versehen, kalt erwischt.

Immerhin ändert das am Lösungsweg nichts.

12.12.2010, 12:26

Glühwürmchen

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Ich habe den Beweis "so gut wie" fertig, aber da ich noch ein kleines Problemchen...

Sei $\begin{eqnarray*} \alpha \neq 0 \in E. \end{eqnarray*}$
Angenommen es gilt $\begin{eqnarray*} |\alpha| > 1. \end{eqnarray*}$
Da $\begin{eqnarray*} E|F \end{eqnarray*}$ algebraisch ist, existieren $\begin{eqnarray*} a_0,..., a_n \in F \end{eqnarray*}$ , so dass

$\begin{eqnarray*} f_{\mathrm{min}, \alpha}=a_0 + a_1x+...+a_n x^n \in F[x] \end{eqnarray*}$

das Minimalpolynom von $\begin{eqnarray*} \alpha \end{eqnarray*}$ ist, das heißt:

$\begin{eqnarray*} a_0 + a_1\alpha +...+a_n \alpha^n =0 \end{eqnarray*}$ . Dann gilt:

$\begin{eqnarray*} 0=\left | 0 \right |=\left |a_0 + a_1\alpha +...+a_n \alpha^n \right | \leq \max \{ \left | a_i \alpha^i \right | , 1\leq i\leq n \} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} = \max \{ \left | a_i\right | \cdot \left | \alpha^i \right | , 1\leq i\leq n \} = \max \{ \underbrace{\left | a_i\right |}_{=1} \cdot \left | \alpha \right |^i , 1\leq i\leq n \} = \left | \alpha \right |^n > 1 \end{eqnarray*}$

Das Problem ist das " $\begin{eqnarray*} \leq \end{eqnarray*}$ "-Zeichen. Denn wenn statt dem " $\begin{eqnarray*} \leq \end{eqnarray*}$ " ein Gleichheitszeichen stehen würde, dann erhielte ich den Widerspruch $\begin{eqnarray*} 0 > 1 \end{eqnarray*}$ und es würde folgen dass für alle $\begin{eqnarray*} 0 \neq \alpha \in E \end{eqnarray*}$ gilt : $\begin{eqnarray*} |\alpha| \leq 1 \end{eqnarray*}$

Es gilt aber, dass aus $\begin{eqnarray*} 0 < |y| < 1 \end{eqnarray*}$ folgen würde : $\begin{eqnarray*} |y|^{-1} > 1 \end{eqnarray*}$ was ein Widerspruch wäre. Daher folgt:
$\begin{eqnarray*} \forall y \in E \setminus \{0\}: \ \left | y \right |=1 \end{eqnarray*}$

Wie gesagt, das "kleiner-gleich-Zeichen" ist das Problem... Ich weiß allerdings noch, dass für eine nicht-archimedische Bewertung |.| und Körperelemente $\begin{eqnarray*} x_1,...,x_n \in K \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} |a_1| > |a_i| \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} i=2,...,n \end{eqnarray*}$ gilt : $\begin{eqnarray*} \left | \sum _{i=1}^n a_i \right | = \left | a_1 \right | \end{eqnarray*}$

Wie kann ich den Beweis noch retten?

Danke,

Viele Grüße

Glühwürmchen

12.12.2010, 14:06

pseudo-nym

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Mein Induktionsbeweiß ist mittlerweile in sich zusammengebrochen. Mein neuer Vorschlag ist ein wenig mit der heißen Nadel gestrikt, also Obacht!

Versuche das Polynom in der Form
$\begin{eqnarray*} -a_0 = a_1\alpha +...+a_n \alpha^n \end{eqnarray*}$
mit Beträgen zu versehen.

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