Konvergenz und !Grenzwert!

19.11.2006, 17:05

itchy00

Konvergenz und !Grenzwert!

Hi

hab zwei Reihen, die auf Konvergenz zu überprüfen sind.

1.) $\begin{eqnarray*} \sum \limits_{n=1}^{\infty} \frac{n!}{n^n} \end{eqnarray*}$
und
2.) $\begin{eqnarray*} \sum \limits_{n=1}^{\infty} \frac{3^n n!}{n^n} \end{eqnarray*}$

wenn man jetzt das Quotientenkriterium anwendet, erhält man nach Umformen:

für 1.) $\begin{eqnarray*} \frac{n^n}{(n+1)^n} \end{eqnarray*}$

und für 2.) $\begin{eqnarray*} \frac{3n^n}{(n+1)^n} \end{eqnarray*}$

jetzt muss man ja zeigen, dass die beiden Ausdrücke kleiner oder gleich einem
q mit $\begin{eqnarray*} 0 \leq q < 1 \end{eqnarray*}$ sind. also kann man z.b. zeigen, dass der Grenzwert der beiden Ausdrücke zwischen 0 und 1 liegt.
Wenn ich dass in Derive eingebe bekomme ich als Lösung:
$\begin{eqnarray*} \lim \limits_{n \to \infty} \frac{n^n}{(n+1)^n} = \frac{1}{e} \end{eqnarray*}$ bzw. $\begin{eqnarray*} \lim \limits_{n \to \infty} \frac{3n^n}{(n+1)^n} = \frac{3}{e} \end{eqnarray*}$

da der Grenzwert für 1.) zwischen 0 und 1 liegt konvergiert die Reihe und da der Grenzwert von 2.) größer als 1 ist divergiert die Reihe. (ich hoffe bis hierhin war alles korrekt)

jetzt aber die eigentliche Frage:
Wie komme ich von $\begin{eqnarray*} \lim \limits_{n \to \infty} \frac{n^n}{(n+1)^n} \end{eqnarray*}$ zu dem $\begin{eqnarray*} \frac{1}{e} \end{eqnarray*}$

Derive kann da leider nicht die Umformungsschritte anzeigen

Ich hoffe auf Hilfe :O)

19.11.2006, 17:12

Mazze

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Zitat:

Derive kann da leider nicht die Umformungsschritte anzeigen

Es ist ein wenig sinnfrei sich vorher das Ergebnis ausrechnen zu lassen, das kannst Du in der Prüfung auch nicht.

Es gilt:

$\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty} (1 + \frac{1}{n})^n = e \end{eqnarray*}$

Ich denke mal das reicht dir schon.

19.11.2006, 17:33

itchy00

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Zitat:

Original von Mazze

$\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty} (1 + \frac{1}{n})^n = e \end{eqnarray*}$

Ich denke mal das reicht dir schon.

vielleicht bin ich grad ein bisschen verwirrt, aber ich komm nicht auf die Umformung. Die Definition kenne ich auch. aber wie bekomme ich oben die 1 (oder vielleicht eher n^1) und unten den Term hin??? Wäre nett wenn du noch nen kleinen Anstoß geben könntest.

Zur Sinnfreiheit:

Ich stimme dir vollkommen zu, dass mich das Bearbeiten der Aufgabe mit Derive nicht besonders weiter bringt (obwohl ich eigentlich finde, dass man beim Üben auch schon mal von hinten nach vorne vorgehen kann).
Andererseits geht's doch erst mal um Punkte, oder wie Oliver Kahn sagen würde: "Eier, ... wir brauchen Eier!"

19.11.2006, 18:11

Mazze

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$\begin{eqnarray*} \frac{1}{(1 + \frac{1}{n})^n} = (\frac{1}{(1 + \frac{1}{n})})^n \end{eqnarray*}$

Jetzt noch den Bruch im Nenner auf einen Nenner bringen und umdrehn schon stehts da.

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