Tangentialbündel[Diff.Geom.]

12.12.2010, 12:39

Idiot

Tangentialbündel[Diff.Geom.]

Hallo,

ich soll eine Aussage beweisen über das Tangentialbündel, wobei ich nicht einmal über die Korrektheit der Aussage sicher bin.
In der Aufgabenstellung heißt es:
Gebe die lokale Struktur von
$\begin{eqnarray*} dj[TM] \subset T\mathbb{R}^n \end{eqnarray*}$ an, wobei $\begin{eqnarray*} j:M->\mathbb{R}^n \end{eqnarray*}$ eine glatte Einbettung ist.

Also meine Gedanken waren bisher wie folgt:
So eine Einbettung $\begin{eqnarray*} j:M->\mathbb{R}^n \end{eqnarray*}$ gibt es ja immer für ein $\begin{eqnarray*} n \in \mathbb{N} \end{eqnarray*}$ (nach dem Satz von Whitney).

dann müsste das Differential von j wie folgt definiert sein: $\begin{eqnarray*} dj:TM->T\mathbb{R}^n \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} dj(p):T_pM->T_{j(p)}\mathbb{R}^n \end{eqnarray*}$

Aber ich sehe nicht so recht die "lokale Struktur" bzw. ich weis nicht einmal, wie dj(p)[X] definiert ist? Kann mir hier jemand vielleicht behilflich sein? Das ganze ist noch sehr neu für mich.

Viele Grüße

13.12.2010, 21:04

Idiot

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Also in einem Beispiel haben wir gezeigt, dass
$\begin{eqnarray*} dj(x)[X]=\sum_{i=1}^n X^j(\frac{d}{dx^i})_{|x } \end{eqnarray*}$ , with $\begin{eqnarray*} <x,X^j>=0 \end{eqnarray*}$

weis jemand evtl. ob das immer so gilt?

Würde mich über Hilfe sehr freuen.

13.12.2010, 22:05

gonnabphd

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Hi,

Mit $\begin{eqnarray*} dj(x) \end{eqnarray*}$ dürfte hier der Pushforward gemeint sein (wird auch mit $\begin{eqnarray*} j_* \end{eqnarray*}$ bezeichnet).

Der ist folgendermassen definiert (für Derivationen): Sei $\begin{eqnarray*} F: M \to N \end{eqnarray*}$ differenzierbar. Sei $\begin{eqnarray*} f \in C^\infty(M) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} F_*: T_pM \to T_{F(p)}N \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} (F_*X)(f) := X(f \circ F) \end{eqnarray*}$

Diese Definition macht Sinn, denn $\begin{eqnarray*} f\circ F\in C^\infty(M) \end{eqnarray*}$ .

Ist $\begin{eqnarray*} X = X^i \frac{\partial}{\partial x^i} \end{eqnarray*}$ , dann haben wir also

$\begin{eqnarray*} (F_*X)(f) = X^i \frac{\partial}{\partial x^i}(f \circ F) = X^i \frac{\partial f}{\partial y^j}\frac{\partial F_j}{\partial x^i} = X^i \frac{\partial F_j}{\partial x^i} \frac{\partial}{\partial y^j} f \end{eqnarray*}$

Folglich $\begin{eqnarray*} F_* \left(X^i \frac{\partial }{\partial x^i} \right) = \frac{\partial F_j}{\partial x^i} \cdot X^i \frac{\partial}{\partial y^j} \end{eqnarray*}$

Weiss nicht, ob das wirklich das ist, wonach du gefragt hast?

Gruss Wink

ps.: Was bedeutet in dem von dir angetönten Beispiel $\begin{eqnarray*} \langle x, X^j \rangle = 0 \end{eqnarray*}$ ?

Zitat:

Also in einem Beispiel haben wir gezeigt, dass
$\begin{eqnarray*} dj(x)[X]=\sum_{i=1}^n X^j(\frac{d}{dx^i})_{|x } \end{eqnarray*}$ , with $\begin{eqnarray*} <x,X^j>=0 \end{eqnarray*}$

Auch die Bedeutung der anderen Zeichen solltest du erklären. Aus dem was da dasteht kann man definitiv nicht genügend Informationen rauslesen... verwirrt

pps.: Wenn ich noch eine Buchempfehlung geben darf: "Introduction to Smooth Manifolds" von John M. Lee

14.12.2010, 06:40

Idiot

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Hallo gonnabphd,

vielen Dank für deine Hilfe und ebenso für deine Buchempfehlung.
Leider verstehe ich die Notation auch nicht, da in meinen Unterlagen nichts weiter steht. Ich hatte nur die Vermutung, dass es euch evtl. helfen könnte zu erraten, was überhaupt zu zeigen ist. Darum tut es mir leid, wenn es eher irritierend als erklärend gewirkt hat.

Viele Grüße

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