Basen

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LoBi Auf diesen Beitrag antworten »
Basen
Geben Sie für die folgenden Vektorräume jeweils eine Basis an:
(i) Den -Vektorraum V der reellen Zahlenfolgen mit nur endlich vielen von
Null verschiedenen Gliedern.
(ii) fuer alle bis auf endlich viele


Vermutlich haben beide Vektorräume die Dimension 1. Da bei i von abgebildet wird und bei ii) von . Nur wie sieht jeweils die Basis aus?
Vielleicht so:
i)
ii)

dann: i) Da endlich viele Folgenglieder ungleich 0 sind.
ii) Hier dann analog

Brauch ich hier die bzw. Definition ?
pseudo-nym Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Basen
Zitat:
Original von LoBi
Vermutlich haben beide Vektorräume die Dimension 1.

Nein, denn die beiden Folgen

und

sind linear unabhängig.

Zitat:
Original von LoBi
i)
ii)

Soll das heißen

wobei

und

Wenn das der Fall ist, dann ist das wegen der oben beschriebenen Tatsache falsch.

Den Rest deines Postes verstehe ich leider nicht. Was ist ?
LoBi Auf diesen Beitrag antworten »

V war ja in i) definiert und sollte eben so eine Folge sein. Ich habe ja vermutet das die Dimension in i) ii) 1 ist. Und und sollten Basen für i und ii) sein. Aber das war ja scheinbar eh Quatsch.

Also nochma neu überlegen
erstma zu i)
V ist der Vektorraum der Nullfolgen. Kann es sein das dieser Vektorraum unendlich-dimensional ist? Wenn ich z.B deine Beispielfolgen nehme f,g nehme. Sehen meine Vektoren doch so aus. , ? Dann müsste doch eigentlich die kanonische Basis. Also sein.
pseudo-nym Auf diesen Beitrag antworten »

Ah, die Defintion von V habe ich überlesen.

Zitat:
Original von LoBi
V ist der Vektorraum der Nullfolgen.

Nein,

ist eine Nullfolge, aber nicht in V enthalten.

Zitat:
Original von LoBi
Dann müsste doch eigentlich die kanonische Basis. Also sein.

Jetzt musst du das nur noch beweisen.
LoBi Auf diesen Beitrag antworten »

Sei B wie oben und eine Linearkombination. Dann ist .
folgt ja dann direkt. Logischerweise auch das mit alle reelen Zahlenfolgen erzeugt werden können.

Mich irritiert noch: Mit dieser Basis kann ich ja jede reele Zahlenfolge bilden, und nich nur die mit endlich vielen Gliedern ungleich 0. Müsste ich die Basis dann nicht noch "einschränken".
pseudo-nym Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von LoBi
[...] eine Linearkombination.


Eine Linearkombination ist eine Summen von endlich vielen Vektoren.
 
 
LoBi Auf diesen Beitrag antworten »

Ich vermute du willst mich drauf hinweisen das nur endlich viele Folgenglieder ungleich 0 sind. Das heisst ab einem gewissen sind die sowieso gleich 0. Dann muss ich nur noch die endlichen Folgenglieder betrachten.
. Das muss ich dann wahrscheinlich per Induktion beweisen.








Kommt mir irgendwie geschummelt vor. Einen anderen Weg als über die Linearkombination die Lineare Unabhängikeit zu beweisen kenn ich nicht.
LoBi Auf diesen Beitrag antworten »

zu ii) Hab ich nun eine Basis gefunden.


Dann
Also die Funktionen sind alle = 0 bis auf eine Stelle.

Beweisen kann ich allerdings weder i) noch ii) wenn ich die entsprechenden Basen nicht linear kombinieren kann.
pseudo-nym Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von LoBi
Ich vermute du willst mich drauf hinweisen das nur endlich viele Folgenglieder ungleich 0 sind.

Ich weiß nicht von welcher Folge zu sprichst. Redest du von einem oder von einer Linearkombination von s?

Zitat:
Original von LoBi
.


Was du wohl meinst, ist


Zitat:
Original von LoBi
Das muss ich dann wahrscheinlich per Induktion beweisen.

Egal ob i oder k, die Summe auf die du Induktion anwenden willst ist ein Term und Terme kann man nicht beweisen.

Du musst dir einfach vorstellen, wie eine solche Linearkombination allgemein aussieht, dann wird dir auch die lineare Unabhängigkeit und die Tatsache, dass die beiden Menge die du aufgestellt hast Basen sind klar.
LoBi Auf diesen Beitrag antworten »

Ok also unter der Vorraussetzung das nur endlich viele Faktoren von Null verschieden sind, sehen meine LK so aus.

i) mit

ii) mit
In beiden Fällen ist I endlich.


weil, ?

Oder setze ich dann mein ?
Mir ist es immer noch nicht klar.
pseudo-nym Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von LoBi

weil, ?

Das passt schon. Ausführlicher könnte man auch schreiben:


und diese Funktion ist genau dann identlich Null, wenn I leer ist, oder alle gleich Null sind.
LoBi Auf diesen Beitrag antworten »

Habe gestern noch im Beutelspacher ein Beispiel zu i) gefunden.
Dort verwendet er für die Linearkombination einfach doppelte Indizes.


Da wurde es für mich dann noch einmal deutlich.

Ich danke dir. Gruß
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