cauchyprodukt und exponentialreihe

12.12.2010, 13:04

lo1

cauchyprodukt und exponentialreihe

Meine Frage:
hallo ich habe eine frage wo ich leider noch nicht mal die aufgabenstellung verstehe bzw ich überhaupt keine ahnung hab wie ich damit anfangen soll.

zeigen sie für die reelle exponentialfunktion die funktionalgleichung mit hilfe des cauchyprodukts zweier absolut konvergenter reihen. benützen sie dazu die Formel (Binomischer Lehrsatz)

$\begin{eqnarray*} (x+y)^{n} = \sum\limits_{k=0}^n \begin{pmatrix} n \\ k \end{pmatrix} x^{n-k} y^{k} \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} n \\ k \end{pmatrix} := \frac{n!}{k!(n-k)!} \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} n \in \mathbb N \end{eqnarray*}$

Meine Ideen:
ohje hilfe ...

12.12.2010, 13:47

klarsoweit

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RE: cauchyprodukt und exponentialreihe
Im Grunde mußt du nur $\begin{eqnarray*} \sum_{k=0}^{\infty}~\frac{x^k}{k!} \cdot \sum_{k=0}^{\infty}~\frac{y^k}{k!} \end{eqnarray*}$ mittels des Cauchyprodukts umformen.

12.12.2010, 14:17

lo1

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RE: cauchyprodukt und exponentialreihe

Zitat:

Original von klarsoweit
Im Grunde mußt du nur $\begin{eqnarray*} \sum_{k=0}^{\infty}~\frac{x^k}{k!} \cdot \sum_{k=0}^{\infty}~\frac{y^k}{k!} \end{eqnarray*}$ mittels des Cauchyprodukts umformen.

meinst du nach diesem modell (an)(bn)=(cn)= $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=0}^\infty cn \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} cn = \sum\limits_{i=0}^\infty a_{k} * b_{i-k} \end{eqnarray*}$ ?

12.12.2010, 15:05

klarsoweit

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RE: cauchyprodukt und exponentialreihe
Im Prinzip ja.

12.12.2010, 15:28

lo1

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RE: cauchyprodukt und exponentialreihe
mh aber irgendwie komm ich da nicht weiter...

$\begin{eqnarray*} c_{n} = \sum\limits_{i=0}^\infty \frac{x^{k} * y^{i-k} }{k! * (i-k)!} \end{eqnarray*}$

12.12.2010, 15:36

Manni Feinbein

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RE: cauchyprodukt und exponentialreihe
unglücklich

Solange Du die Formel für das Cauchyprodukt nicht korrekt wiedergeben kannst wird das wohl nichts.

Mit dem Cauchyprodukt und dem Hinweis, der Dir schon vorliegt ist doch nix mehr zu tun.

12.12.2010, 15:59

lo1

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RE: cauchyprodukt und exponentialreihe
wie ist denn die korrekte? tut mir leid ich weiß es halt nicht

12.12.2010, 16:36

klarsoweit

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RE: cauchyprodukt und exponentialreihe
Da kann man auch mal selber nachschauen: unglücklich

http://de.wikipedia.org/wiki/Cauchy-Produktformel

Zitat:

Original von lo1
meinst du nach diesem modell (an)(bn)=(cn)= $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=0}^\infty cn \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} cn = \sum\limits_{i=0}^\infty a_{k} * b_{i-k} \end{eqnarray*}$ ?

Das Produkt ist also $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{n=0}^\infty c_n \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} c_n = \sum\limits_{k=0}^n a_{k} * b_{n-k} \end{eqnarray*}$ .

09.07.2012, 16:08

BqB

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Cauchyprodukt und Exponentialreihe
Hier nochmal ganz ausführlich.

$\begin{eqnarray*} \sum_{n=0}^{\infty}~\frac{x^n}{n!} \cdot \sum_{n=0}^{\infty}~\frac{y^n}{n!}=\sum\limits_{n=0}^{\infty} \sum\limits_{k=0}^n~\frac{x^ky^{n-k}}{k!(n-k)!} = \sum\limits_{n=0}^{\infty} \sum\limits_{k=0}^n~\frac{x^ky^{n-k}}{k!(n-k)!}\cdot~\frac{n!}{n!}=\sum\limits_{n=0}^{\infty} \sum\limits_{k=0}^n\begin{pmatrix} n \\ k \end{pmatrix} ~\frac{x^ky^{n-k}}{n!}=\sum_{n=0}^{\infty}~\frac{(x+y)^n}{n!} \end{eqnarray*}$

Für Matrizen analog aber Kommutativität erforderlich.

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