Identität beweisen

12.12.2010, 13:14	Wraith720	Auf diesen Beitrag antworten »
Identität beweisen Moin moin Matheboard-Universium. Folgende Identität soll bewiesen werden: $\begin{eqnarray} \sum\limits_{k=1}^n \begin{pmatrix} n \\ k \end{pmatrix} k z^k = nz (1+z)^{n-1} \end{eqnarray}$ Ich habe bereits die vollst. induktion über n getestet, bin aber nicht weit gekommen... hat vielleicht jemand einen effizienteren Vorschlag? Danke! SG
12.12.2010, 13:38	tohuwabou	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Identität beweisen Vielleicht kann man da was mit dem Binomischen Lehrsatz machen.
12.12.2010, 14:21	Wraith720	Auf diesen Beitrag antworten »
Hm, damit komme ich leider auch nicht wirklich weiter.... Ich hab versucht im Induktionsschritt n->n+1 folgendes zu machen: $\begin{eqnarray} (n+1)z(1+z)^{(n+1)-1} = \sum\limits_{k=1}^{n+1}\begin{pmatrix} n+1 \\ k \end{pmatrix} k z^k \end{eqnarray}$ Und bin so vorgegangen, komme aber nicht weiter, ist vermutlich auch nicht wirklich richtig :-( $\begin{eqnarray} (n+1)z(1+z)^{(n+1)-1} = (n+1)z(1+z)^n \\ <br /> = (n+1)z\sum\limits_{k=0}^n \begin{pmatrix} n \\ k \end{pmatrix} z^k \\ <br /> = (n+1)z\sum\limits_{k=1}^n \left( \begin{pmatrix} n \\ k \end{pmatrix} z^k \right)+1 \\ \end{eqnarray}$ Dann komm ich nicht weiter... Bitte um Hilfe! SG
12.12.2010, 14:34	MaFilius	Auf diesen Beitrag antworten »
(n über k) = (n/k)* (n-1 über k-1) dann kann man wunderschön kürzen!
12.12.2010, 15:00	Wraith720	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich habe jetzt echt lange geschaut, aber ich sehe nicht was sich da alles wunderschön wegkürzt... Hast du noch einen Hinweis für mich. Ich brauche nur nen Schubser ;-) SG
12.12.2010, 15:04	René Gruber	Auf diesen Beitrag antworten »
Der Tipp von MaFilius ergänzt gewissermaßen den von tohuwabou.
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12.12.2010, 15:14	tohuwabou	Auf diesen Beitrag antworten »
Also ich hab mit der anderen Seite angefangen und hab es so auch hinbekommen. Ich kann dir ja mal den Anfang hinschreiben, kannst dir ja dann selber überlegen , ob du damit weitermachen willst oder nicht. $\begin{eqnarray} \sum_{k=1}^n {\binom {n+1} k} k z^k + \binom {n+1} {n+1} (n+1) z^{n+1} =\sum_{k=1}^n ( \binom{n }{k-1} + \binom n k )kz^k + (n+1)z^{n+1} =\sum_{k=0}^{n-1} \binom n k (k+1) z^{k+1} + \sum_{k=1}^n \binom n k kz^k +(n+1)z^{n+1} \end{eqnarray}$ Du musst dann nachher halt noch die IV einsetzen und den Binomischen Lehrsatz hab ich auch noch verwendet. Wenn du da nicht weiterkommst, kann ich dir auch noch weiterhelfen, dann sag Bescheid.
12.12.2010, 15:21	René Gruber	Auf diesen Beitrag antworten »
Wenn man sowieso den binomischen Satz anwendet, dann geht's mit dem Tipp von MaFilius auch gleich direkt: $\begin{eqnarray} \sum\limits_{k=1}^n \binom{n}{k} k z^k = \sum\limits_{k=1}^n \frac{n}{k} \cdot \binom{n-1}{k-1} k z^k = nz\sum\limits_{k=1}^n \binom{n-1}{k-1} z^{k-1} = nz\sum\limits_{j=0}^{n-1} \binom{n-1}{j} z^j = nz (1+z)^{n-1} \end{eqnarray}$ .
12.12.2010, 15:26	tohuwabou	Auf diesen Beitrag antworten »
Warum einfach , wenns auch kompliziert geht
12.12.2010, 15:47	Leopold	Auf diesen Beitrag antworten »
Man könnte ja noch einfacher auf $\begin{eqnarray} (1+z)^n \end{eqnarray}$ den binomischen Lehrsatz anwenden, dann die Gleichung differenzieren und mit $\begin{eqnarray} z \end{eqnarray}$ multiplizieren.
12.12.2010, 16:52	Wraith720	Auf diesen Beitrag antworten »
Super! Vielen Dank an alle. Hab jetzt alles verstanden! SG

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