Dichte bestimmen und Interpretation

12.12.2010, 13:14

HimmelsBeistand

Dichte bestimmen und Interpretation

Meine Frage:
Du bist mit einem alten Fahrrad unterwegs, bei dem leider immer wieder das Ventil abgeht, das Du dann wieder anbringen musst.
Die Zeit (in Minuten) bis zu dem nächsten Defekt sei X-Exp(E) und die Zeit, die Du brauchst, um das Rad wieder zu reparieren Y - U(1; 2). X und Y seien unabhängig.
Bestimme von folgenden Zufallsvariablen die Dichte und interpretiere Teil (b) und (c) analog zu der Vorgabe in Teil (a).

(a) Der Inhalt (in km²) der Fläche aller Orte, die Du bis zum nächsten Defekt erreichen kannst, wenn Du 20 km/h fährst: (?/9)X²,

(b) X + Y,

(c) X=Y.

Meine Ideen:
Kann mir irgendjemand helfen, was hier überhaupt gefragt ist bzw. wie man drauf kommt? Ich verstehe nur Bahnhof.
Vielen Dank.

12.12.2010, 13:16

HimmelsBeistand

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Korrektur
Sorry,

? = Pi

14.12.2010, 14:18

HimmelsBeistand

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Weiß niemand was?

14.12.2010, 14:41

René Gruber

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Zu (a):

Das soll wohl so gemeint sein, dass der Radfahrer von seiner Startposition aus alle (!) Richtungen mit 20km/h befahren kann (merkwürdige Gegend Augenzwinkern

).

Nun gut, dass ergibt bei Zeit $\begin{eqnarray*} X \end{eqnarray*}$ (in Minuten) die maximale Wegstrecke $\begin{eqnarray*} \frac{20X}{60} = \frac{X}{3} \end{eqnarray*}$ (in km), letzteres entspricht dem Kreisradius der erreichbaren Fläche

$\begin{eqnarray*} A = \frac{\pi}{9} X^2 \end{eqnarray*}$

Die Verteilungsfunktion von $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ kannst du dann aus der von $\begin{eqnarray*} X \end{eqnarray*}$ bestimmen, unter Beachtung dessen, dass $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} X \end{eqnarray*}$ nur positive Werte annehmen können:

$\begin{eqnarray*} F_A(a) = P(A\leq a) = P\left( \frac{\pi}{9} X^2 \leq a \right) = P\left( X^2 \leq \frac{9a}{\pi} \right) = P\left( X \leq \sqrt{\frac{9a}{\pi}} \right) = F_X\left( \sqrt{\frac{9a}{\pi}} \right) \quad \textrm{für}\;a>0 \end{eqnarray*}$

Das $\begin{eqnarray*} F_X \end{eqnarray*}$ von deiner Exponentialverteilung einsetzen, nach $\begin{eqnarray*} a \end{eqnarray*}$ ableiten, schon hast du das gesuchte $\begin{eqnarray*} f_A(a) \end{eqnarray*}$ .

Zu (b): Faltungsformel anwenden

Zu (c): Unverständliche Aufgabe: Was soll das sein, die Dichte von "X=Y" ? verwirrt

15.12.2010, 16:51

HimmelsBeistand

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Danke
Vielen Dank. Das hat mir super geholfen!

15.12.2010, 17:04

HimmelsBeistandNeu

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Ich habe noch eine Frage. Gilt bei der Faltung immer die Vereinfachung als Produkt der beiden Funktionen, wie bei Wikipedia zu lesen ist?

Eine Aufklärung hier wäre noch nett!

15.12.2010, 18:46

Math1986

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Zitat:

Original von HimmelsBeistandNeu
Ich habe noch eine Frage. Gilt bei der Faltung immer die Vereinfachung als Produkt der beiden Funktionen, wie bei Wikipedia zu lesen ist?

Eine Aufklärung hier wäre noch nett!

Wie meinst du das, welcher Teil aus Wikipedia?

15.12.2010, 20:16

HimmelsBeistand

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Ich kann leider keine Links posten.
Bei Wikipedia im Eintrag "Charakteristische Funktion" im Abschnitt "Faltungsformel für Dichten".
Oder gilt das nur für diese charakteristische Funktion?

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