rationale Funktionen mit gegebenen Bedingungen formulieren

12.12.2010, 15:57	Moby	Auf diesen Beitrag antworten »
rationale Funktionen mit gegebenen Bedingungen formulieren Hallo! Es findet sich doch immer wieder eine neue Problemstellung Frage lautet wie folgt: Formulieren Sie jeweils eine Bedingung für eine rationale Funktion f(x), damit diese (a) $\begin{eqnarray} \lim_{x \to \infty } f(x) = \infty \end{eqnarray}$ (b) $\begin{eqnarray} \lim_{x \to \infty } f(x) = 0 \end{eqnarray}$ (c) $\begin{eqnarray} \lim_{x \to \infty } f(x) = 17 \end{eqnarray}$ (d) $\begin{eqnarray} \lim_{x \to 17 } f(x) = \infty \end{eqnarray}$ (e) $\begin{eqnarray} \lim_{x \to 17 } f(x) = 0 \end{eqnarray}$ (f) $\begin{eqnarray} \lim_{x \to \infty } f(x) = \infty \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} \lim_{x \to -\infty } f(x) = -\infty \end{eqnarray}$ (g) $\begin{eqnarray} \lim_{x \to \infty } f(x) = \infty \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} \lim_{x \to -\infty } f(x) = \infty \end{eqnarray}$ (h) $\begin{eqnarray} \lim_{x \to 17 } f(x) = 0 \end{eqnarray}$ und 17 gehört nicht zum Def.Bereich von f(x) (i) $\begin{eqnarray} \lim_{x \to 17 } f(x) = 17 \end{eqnarray}$ und 17 gehört nicht zum Def.Bereich von f(x) (j) $\begin{eqnarray} \lim_{x \to 17 } f(x) = \infty \end{eqnarray}$ und f(x) > 0 für alle x aus dem Def.Bereich erfüllt. Meine ANSÄTZE: (a) $\begin{eqnarray} x^2/x \end{eqnarray}$ (b) $\begin{eqnarray} x/x^2 \end{eqnarray}$ (c) $\begin{eqnarray} (17x)/x \end{eqnarray}$ (d) $\begin{eqnarray} (x+1)/(x-17) \end{eqnarray}$ (e) $\begin{eqnarray} (x-17)/x \end{eqnarray}$ (f) $\begin{eqnarray} (x^2-1)/(x+1) \end{eqnarray}$ könnte ich hier auch $\begin{eqnarray} (x^2-1)/(x-1) \end{eqnarray}$ verwenden? würde ja nicht unbedingt einen unterschied machen wenn ich heraushebe und kürze. (g) $\begin{eqnarray} (x^4+1)/(x^2+1) \end{eqnarray*}$ (h)... ab hier fühl ich mich bisschen hilflos. (i) (j) Danke für die Antworten schon mal im Voraus. Moby
12.12.2010, 16:49	system-agent	Auf diesen Beitrag antworten »
Nur als Information für dich: Eine rationale Funktion ist ja eine Bruch, bei dem oben und unten eine ganzrationale Funktion stehen. Insbesondere ist also jede ganzrationale Funktion ebenfalls eine rationale Funktion [mit Nenner der ganzrationalen Funktion konstant 1]. Dh. zb in (a) ist $\begin{eqnarray} f(x)=x \end{eqnarray}$ zu schreiben auch vollkommen OK . (b) OK. (c) OK. (d) Mit dieser Angabe für den Grenzwert ist meistens gemeint, dass bei Annäherung an 17 von beiden Seiten immer $\begin{eqnarray} f(x)\to\infty \end{eqnarray}$ gelten soll. Bei deiner Funktion stimmt das aber nur für eine Seite. (e) OK. Die Division durch $\begin{eqnarray} x \end{eqnarray}$ könntest du dir auch sparen . (f) Wie wäre es mit $\begin{eqnarray} f(x)=x \end{eqnarray}$ ? (g) OK. Oder eine Normalparabel. Zu (h): Nimm einfach eine konstante Funktion und schränke den Definitionsbereich ein. Zu (i): Analog zu (h). Zu (j): Nutze etwas der Form $\begin{eqnarray} \frac{1}{(x-17)^?} \end{eqnarray}$ .
12.12.2010, 21:16	Moby	Auf diesen Beitrag antworten »
Okay, das man bei (a) z.B. auch einfach nur "x" schreiben kann hätt ich mir nicht dacht. aber gut zu wissen (d) ... wie mach ich dasn jetzt, dass sie von beiden seiten gen unendlich strebt?... (e) nach deiner Erklärung am Anfang kann ich die Division durch x wohl wirklich lassen hehe (f) klingt nun auch durchaus plausibel aber wäre meine ursprüngliche Lösung denn falsch gewesen? (h) $\begin{eqnarray} (x-17) \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} D= N ohne \left\{ 17\right\} \end{eqnarray}$ (besser hab ichs nicht hinbekommen ) Stimmt das halbwegs als mögliche Lösung? (i) $\begin{eqnarray} x \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} D=N ohne \left\{ 17\right\} \end{eqnarray}$ (j) $\begin{eqnarray} x/(x-17) D=N \end{eqnarray}$
13.12.2010, 07:53	system-agent	Auf diesen Beitrag antworten »
Zu (d): Denke mal über gewissen Quadrate im Nenner nach. Zu (f): Nein, deine Lösung ist nicht falsch. Faktisch steht da [weil man schliesslich kürzen kann] gerade $\begin{eqnarray} f(x)=x-1 \end{eqnarray}$ bzw in deinem zweiten Vorschlag $\begin{eqnarray} f(x)=x+1 \end{eqnarray}$ und das ist beides "fast" das, was ich dir vorgeschlagen habe. Zu (h): Fast OK . Wenn dann musst du schon $\begin{eqnarray} D=\mathbb R\setminus\{17\} \end{eqnarray}$ schreiben. Begründung wieso das eine Lösung ist? Eine Funktion ist erst dadurch definiert dass man drei Dinge angibt: (i) Den Definitionsbereich (ii) Den Wertebereich (iii) Die Funktionsorschrift [nur so als Zusatz, denn in der Schule wird oft genug genau das nicht betont bzw einige Lehrer wissen das garnicht]. Zu (i): Das ist falsch. Ein anderes Beispiel: Wenn ich wollte, dass $\begin{eqnarray} \lim_{x\to2010}f(x)=5 \end{eqnarray}$ gilt und dass die Funktion bei $\begin{eqnarray} 2010 \end{eqnarray}$ nicht definiert sein soll, dann könnte ich $\begin{eqnarray} D=\mathbb R\setminus\{2010\} \end{eqnarray}$ setzen und $\begin{eqnarray} f(x)=5 \end{eqnarray}$ . Zu (j): Falsch, beurteile selbst: Lies nochmal meine Tipps zu (d) nach.

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