Beschränktheit und Monotonie mit sin(n)

12.12.2010, 16:48

Carnivora

Auf diesen Beitrag antworten »

Beschränktheit und Monotonie mit sin(n)

Meine Frage:
Die Aufgabe lautet, die folgende Folge auf Beschränktheit und Monotonie zu untersuchen.
$\begin{eqnarray*} a_{n} =\frac{\sin(n) }{\sqrt{n} } (n\in \mathbb N ) \end{eqnarray*}$

Meine Ideen:
Soweit ich weis ist der Grenzwert aufjedenfall 0 und es sich um eine kurve handelt, die mal im plus mal im minus berreich ist. außerdem ist meine behauptung, dass die größte untere und kleinste obere Schranke -1 und 1 sind. bei der monotonie bin ich ehrlich ein bisschen ratlos...soll ich hier intervalle zeigen in denen die kurve steigt/fällt?

12.12.2010, 17:02

system-agent

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Beschränktheit und Monotonie mit sin(n)

Zitat:

Original von Carnivora
Soweit ich weis ist der Grenzwert aufjedenfall 0

Ja. Aus der Konvergenz folgt aber schon die Beschränktheit.

Zitat:

Original von Carnivora
und es sich um eine kurve handelt

Nein. Es ist eine Folge.

Was ist denn zb die Bedingung die die Folge erfüllen muss, damit sie monoton wächst?
Kannst du Folgenglieder konkret angegeben, die dieser Bedingung widersprechen?

12.12.2010, 17:18

Carnivora

Auf diesen Beitrag antworten »

die Bedingung für eine monoton wachsende Folge ist
$\begin{eqnarray*} a_{n+1} -a_{n} \geq 0 \end{eqnarray*}$

auf meine aufgabe übertragen heißt das
$\begin{eqnarray*} \frac{\sin(n+1)*\sqrt{n}-\sin(n)*\sqrt{n+1}}{\sqrt{n+1}*\sqrt{n}}\geq 0 \end{eqnarray*}$
rauskommen sollte.
problem ist ja nur, dass durch sinus auch mal negative ergebnisse rauskommen, was dazu führt, das die folge auch fallend ist nur weiß ich nicht, wie ich herausfinde für welche werte explizit

12.12.2010, 17:24

system-agent

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von Carnivora
die Bedingung für eine monoton wachsende Folge ist
$\begin{eqnarray*} a_{n+1} -a_{n} \geq 0 \end{eqnarray*}$

Ja, ganz genau, aber mit der wichtigen Zusatzbedingung, dass dies für alle $\begin{eqnarray*} n\in\mathbb N \end{eqnarray*}$ richtig sein soll.

Nun gebe doch konkret 3 Folgenglieder $\begin{eqnarray*} a_{n-1},a_n,a_{n+1} \end{eqnarray*}$ an derart, dass $\begin{eqnarray*} a_{n-1}\leq a_n \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} a_n\geq a_{n+1} \end{eqnarray*}$ .

12.12.2010, 17:41

Carnivora

Auf diesen Beitrag antworten »

ich versteh jetzt nciht ganz was gemacht werden soll.
meinst du ich soll für beispielsweise $\begin{eqnarray*} a_{n} =2 \end{eqnarray*}$ setzten ?

12.12.2010, 17:50

system-agent

Auf diesen Beitrag antworten »

Nein.
Angenommen, dass die Folge monoton wachsend ist. Dann muss $\begin{eqnarray*} a_{n+1}\geq a_n\qquad (*) \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} n\in\mathbb N \end{eqnarray*}$ richtig sein.
Angenommen die Folge sähe so aus:
$\begin{eqnarray*} a_1=1 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} a_2=\frac{3}{2} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} a_3=5 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} a_4=-1 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} a_5=7 \end{eqnarray*}$
usw.

Dann wäre also die Bedingung nicht für alle $\begin{eqnarray*} n\in\mathbb N \end{eqnarray*}$ erfüllt, denn zum Beispiel ist $\begin{eqnarray*} a_4<a_3 \end{eqnarray*}$ , denn $\begin{eqnarray*} -1<5 \end{eqnarray*}$ . Also stimmt $\begin{eqnarray*} (*) \end{eqnarray*}$ nicht für alle $\begin{eqnarray*} n\in\mathbb N \end{eqnarray*}$ [eben zum Beispiel für $\begin{eqnarray*} n=3 \end{eqnarray*}$ nicht] und die Folge ist nicht monoton wachsend.

Anzeige

12.12.2010, 17:56

Carnivora

Auf diesen Beitrag antworten »

sie ist aber auch nicht monoton fallend, sondern wechselt zwischen steigen und fallend daher ist keine monotonie vorhanden oder?

12.12.2010, 18:38

system-agent

Auf diesen Beitrag antworten »

Ja. Und das sollst du nun für deine Folge genauso machen.

12.12.2010, 19:18

Carnivora

Auf diesen Beitrag antworten »

was ich mich nur frage ist, wie du auf die werte für deine a1...gekommen bist?

12.12.2010, 19:27

system-agent

Auf diesen Beitrag antworten »

Die habe ich erfunden. Ich habe gesagt:

Zitat:

Angenommen die Folge sähe so aus:

Ich wollte dir ein Beispiel für die Argumentation geben und dir nicht die Aufgabe vorlösen.

12.12.2010, 19:37

Carnivora

Auf diesen Beitrag antworten »

gibt es nur nicht irgendeine ausnahme, wenn sinus nur in den nat. zahlen ist...ich kriege nämlich nur irrationale werte raus und das kann eigentlich definitiv nicht stimmen

12.12.2010, 19:45

system-agent

Auf diesen Beitrag antworten »

Ich verstehe nicht was du meinst.

12.12.2010, 19:50

Carnivora

Auf diesen Beitrag antworten »

in den übungen wurde uns gesagt, dass wir hier nicht mit dem sinus rechenen sollen welches bei pi vom negativem und positivem geht, da es sich bei meiner aufgabe um natürliche zahlen handelt und daher mit sinus anders gerechnet wird.

ich kriege wen ich jetzt n=1,2,3...setzte auch zahlen raus die nicht mehr im berreich der nat. zahlen liegen..daher bin ich etwas sehr verwirrt

12.12.2010, 19:56

system-agent

Auf diesen Beitrag antworten »

Wenn man den Sinus von irgendeiner reellen Zahl ausrechnet ist es natürlich äusserst unwahrscheinlich eine natürliche Zahl zu kriegen. Tatsächlich ist für keine natürliche Zahl $\begin{eqnarray*} \sin(n) \end{eqnarray*}$ wieder eine natürliche Zahl. Ausserdem dividierst du hier doch noch durch etwas - und das macht es vollkommen unmöglich dass da irgendeine natürliche Zahl als Folgenglied auftritt.

12.12.2010, 20:08

Carnivora

Auf diesen Beitrag antworten »

wie kann ich jetzt aber ohne einfaches einsetzten herausfinden ob monoton oder nicht?
ich hab jetzt nämlich einfach die folgeglieder genommen und die isind bisjetzt immer größer als der vorgänger..kann bei sinus aber doch nciht möglich sein

12.12.2010, 20:10

René Gruber

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von Carnivora
ich hab jetzt nämlich einfach die folgeglieder genommen und die isind bisjetzt immer größer als der vorgänger..

Du hast aber schon deinen Taschenrechner auf RAD statt DEG gestellt, oder? Augenzwinkern

Augenzwinkern

12.12.2010, 20:13

Carnivora

Auf diesen Beitrag antworten »

ok..mein fehler er war auf DEG gestellt Hammer

Hammer

1

Verwandte Themen

Die Beliebtesten »

Die Größten »

Die Neuesten »