dimension funktionenraum

12.12.2010, 17:06

Theta

dimension funktionenraum

Meine Frage:
Hallo allerseits,
Ich möchte mal wissen ob die Dimension in einem Funktionenraum abhängig ist vom Grad der Funktionen, wenn ja warum eigentlich.

Meine Ideen:
Und wie sieht es eigentlich hier aus mit der Dim: $\begin{eqnarray*} W=\{f \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} \in Abb(\mathbb R, \mathbb R) \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} I \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} f(x)=0 \end{eqnarray*}$ für alle bis auf endlich viele $\begin{eqnarray*} x\in \mathbb R\} \end{eqnarray*}$ ? Wie macht man das eigentlich mit der Trennwand, ich mach da immer nur ein I dazwischen?
Danke im Vorraus

12.12.2010, 17:15

kiste

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Was soll der Grad einer Funktion sein?

Mengen in LaTeX: $\begin{eqnarray*} \{x \mid y\} \end{eqnarray*}$

code:
1:	[latex]\{x \mid y\}[/latex]

Die Dimension deines W ist unendlich, man kann leicht eine unendlich große linear unabhängige Menge angeben(die die ich im Kopf habe ist sogar noch eine Basis Augenzwinkern

)

12.12.2010, 17:19

Theta

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Es gibt ja auch Mengen, in denen nur Funktionen bis zum (zB) 5 Grad enthalten sind (zB f(x)=x^5).
Das meinte ich mit Grad der Funktionen.
Also hat unsere Basis unendlich Vektoren mit undendlich Zeilen. Aber kann es sein, dass alle Nullfunktion in W charakteristische Funktionen sind

12.12.2010, 17:26

kiste

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Polynome, bis auf das Nullpolynom, sind doch gar nicht in deiner Menge W. Wie kommst du dann auf den Grad von Polynomen?

Und was soll unendlich Zeilen bedeuten? (Ich kanns mir schon denken, aber dann hast du eine falsche Vorstellung von Vektorräumen)

12.12.2010, 17:28

Theta

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Nun f(x)=x^5-x^5 wäre doch ne Nullfunktion mit Grad 5.
Also hat unsere Basis unendlich Vektoren mit undendlich Zeilen. Aber kann es sein, dass alle Nullfunktion in W charakteristische Funktionen sind
Und was soll unendlich Zeilen bedeuten? (Ich kanns mir schon denken, aber dann hast du eine falsche Vorstellung von Vektorräumen) Aber ein dreidimensionaler vektorraum hat doch auch drei zeilen pro Vektor. Wenns vierdimensional ist haben die Vektoren vier Zeilen, oder nicht?

12.12.2010, 17:31

kiste

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Nein, nach deinem Verständnis hätte dann ja auch x^3 den Grad 5, immer hin kann man x^5 + x^3 - x^5 schreiben...

Nochmal: unendlich viele Zeilen ist die falsche Vorstellung!

Und was sollen bitte schön "alle" Nullfunktionen sein? Es gibt genau eine.

12.12.2010, 17:37

Theta

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Nun es ist doch so, dass es nicht näher beschrieben ist, wie die Nullfunktion aussieht.
Es könnte so aussehen f(x)=2x^6-2x^6=0, es könnte aber auch so aussehen f(x)=x^4+x^4-2x^4 usw. Oder hab ich es hier nicht richtig verstanden?

Aber ein dreidimensionaler vektorraum hat doch auch drei zeilen pro Vektor. Wenns vierdimensional ist haben die Vektoren vier Zeilen, oder nicht? Nun wenn ich bis hier recht hab muss doch auch ein unendl. dim. Vektorraum unendl. Zeilen in jedem Vektor haben. Wenn nein, was hab ich dann falsch verstanden?

Außerdem meinte ich das mit dem Grad der Funktion etwas anders als du verstanden hast glaub ich.
Nun in der Mengenklammer steht ja manchmal eine Bedingung oder Beschränkung nach der Trennwand. Nun wenn da steht (ich mein es jez im Allgemeinen), dass nur Funktionen bis 5 Grades erlaubt sind, dann tauchen in der Menge natürlich auch Funktionen 3. Grades auf, es verstößt ja nicht gegen die Beschränkung. Oder meintest du etwas anderes?

12.12.2010, 17:45

kiste

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Die Nullfunktion ist immer f(x) = 0. Ob du jetzt 10 verschiedene Darstellungen der 0 noch hinschreiben willst ändert daran für die Funktion doch gar nichts.

Tja der typische Anfängerfehler zwischen Vektoren und Koordinatenvektoren nicht unterscheiden zu können. Was sollen die Zeilen der Vektoren aus dem Vektorraum der Polynome bis Grad 2 sein? Der ist auch 3 dimensional.

12.12.2010, 17:50

Theta

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Dazu hab ich ne Frage, kann man denn die Polynomme bis 2. Grades nicht in einem 2 dimensionalen Vektorraum darstellen?, oder muss der Vektorraum unbedingt 3 Dim. sein? Warum?
eigentlich ist doch ein normales Koordinatensystem ein 2 Dim Vektoraum, oder nicht?

12.12.2010, 18:08

kiste

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Wenn du ihn auf ein Bier einlädst kannst du ihn vllt. überreden eine Dimension abzugeben, aber ansonsten ist der eben drei dimensional Augenzwinkern

Und ein 2 dim Vektorraum ist ein Vektorraum der 2 dimensional ist, kein Koordinatensystem oder sonst irgendetwas.

Bleibst du weiter bei deiner zweifelhaften Anschauung wirst du bald extreme Probleme bekommen, insbesondere bei Vektorräumen die unendlich dimensional sind oder bei Vektorräumen über Körpern die nicht die reellen Zahlen sind.

15.12.2010, 22:52

Theta

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Basis Dimension
Meine Frage:
Hallo allerseits,
Ich hab eigentlich schon einen ähnlichen Post, aber aufgrund eines vorherigen Denkfehlers Meinerseits und einer nicht ganz richtigen Antwort seitens eines Users (das ist hier überhaupt nicht bös gemeint, s.u.) möchte ich noch mal von vorne anfangen. Die Frage lautet:
Geben Sie für die folgenden Vektorräume jeweils eine Basis an:
$\begin{eqnarray*} (I) \end{eqnarray*}$ Den $\begin{eqnarray*} \mathbb R -Vektorraum V \end{eqnarray*}$ der reellen Zahlenfolgen mit nur endlich vielen von Null verschiedenen Gliedern.
$\begin{eqnarray*} (II) \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} W = \{f\in Abb (\mathbb R;\mathbb R) \mid f (x) = 0 \end{eqnarray*}$ für alle bis auf endlich viele $\begin{eqnarray*} x \in \mathbb R\} \end{eqnarray*}$ .

Meine Ideen:
Zu I:
Unser Körper R hat endl. viele Glieder.
V ist der Vektorraum über R (s.o.). D.h. V=R^y
Nun können wir eine Basis mit Einheitsvektoren bilden,
also B1={e1,...,ey}

Zu II: Ich möchte mich an dieser Stelle bei Kiste bedanken für seine Hilfe, aber auch du hattest offenbar einen kleinen Denkfehler was die Dimension von W betrifft. Mein Übungsleiter meinte das es nicht unendl. dim. ist.
Nun hier meine Idee B2={f(x)=n}.

15.12.2010, 23:02

jester.

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Zum einen kann das doch gut in dem alten Thread weitergeführt werden. Ich werde diesen hier gleich an den alten hängen.

Zum anderen möchte ich doch bezweifeln, dass W endlichdimensional ist (und dass dein Übungsleiter das behauptet hat). Betrachte doch mal die Menge $\begin{eqnarray*} \{f_z ~|~ z\in\mathbb{R}\}\subseteq W \end{eqnarray*}$ , wobei $\begin{eqnarray*} f_z ~:~ \mathbb{R}\to \mathbb{R}, ~ x\mapsto \begin{cases}1&x=z \\ 0 &\text{sonst}\end{cases} \end{eqnarray*}$ .

Dann noch zu Teil I:

Zitat:

Unser Körper R hat endl. viele Glieder.

Zitat:

V ist der Vektorraum über R (s.o.). D.h. V=R^y

Diese Zeile deutet auf den Trugschluss hin, der dann in den folgenden Zeilen sichtbar wird: V ist ebenfalls nicht endlich-dimensional.

15.12.2010, 23:07

Theta

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aber das geht doch garnicht
höchstens endl viele x dürfen ungleich 0 sein (das mit dem fz)

15.12.2010, 23:08

jester.

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Es wird doch nur $\begin{eqnarray*} z \end{eqnarray*}$ auf $\begin{eqnarray*} 1\neq 0 \end{eqnarray*}$ abgebildet, alles andere geht auf Null.

15.12.2010, 23:11

Theta

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aber in deiner Menge gilt x=z, somit gilt doch für alle x ungleich 0

15.12.2010, 23:13

jester.

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Jetzt kann ich dir nicht mehr folgen. In was für einer Menge soll denn $\begin{eqnarray*} x=z \end{eqnarray*}$ gelten? Und was soll

Zitat:

[...]somit gilt doch für alle x ungleich 0

bedeuten?

15.12.2010, 23:17

Theta

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$\begin{eqnarray*} \{f_z ~|~ z\in\mathbb{R}\}\subseteq W \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} f_z ~:~ \mathbb{R}\to \mathbb{R}, ~ x\mapsto \begin{cases}1&x=z \\ 0 &\text{sonst}\end{cases} \end{eqnarray*}$ hier gilt x=z

15.12.2010, 23:21

Theta

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biste noch da??

15.12.2010, 23:24

jester.

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Was soll ich denn mit dieser Mail? Mach dir lieber mal Gedanken zum Thema. Beispielsweise dazu, was diese "x=z"-Sache angeht. Damit du es besser verstehst, vielleicht mal ein kleineres Beispiel:

Betrachte mal nur $\begin{eqnarray*} \{f_1,f_2,f_3\} \end{eqnarray*}$ . Das ist mit der Definition von oben die Menge bestehend aus den drei Abbildungen, die jeweils alles auf Null abbilden bis auf diejenige reelle Zahl, die unten im Index steht. Die wird auf 1 geschickt.
Also ist $\begin{eqnarray*} f_1(1)=1, ~f_1(2)=0, ~f_1(3)=0,~ ... \end{eqnarray*}$ und analog $\begin{eqnarray*} f_2(1)=0, ~ f_2(2)=1,~ ... \end{eqnarray*}$ .

Zitat:

biste noch da??

Eines solltest du dir klarmachen: Das hier ist kein Chatroom und mit diesen Verständnisschwierigkeiten wirst du die Aufgabe wohl auch nicht so auf die Schnelle bearbeiten können. Also würde ich vorschlagen, dass dein nächster Beitrag etwas auf sich warten lässt, du dir Gedanken machst, und dann mehr als nur eine Zeile schreibst.

15.12.2010, 23:36

Evelyn89

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@Theta:

Die Mail von deinem Übungsleiter hier reinzustellen war wirklich unnötig.
Du weißt schließlich nicht, ob er damit einverstanden ist, dass seine Mail hier herumschwirrt.

Außerdem hat dein Übungsleiter die Aussagen von kiste und jester nur bestätigt und nicht, wie du meintest, widersprochen.

Du hast eine vollkommen falsche Vorstellung von Vektorräumen und hast auch die Begriffe Basis, EZS etc. nicht wirklich verinnerlicht.

Die Dimension eines Vektorraums ergibt sich per Definition aus der Anzahl der Basiselemente. Ergo hat das ganze nichts mit dem "Grad der Funktion" zu tun.

Im Übrigen macht der Ausdruck "Grad der Funktion" überhaupt keinen Sinn.
Nenn mir mal bitte den Grad von exp (Exponentialfunktion) oder sinus/cosinus etc. ???
Der Grad wäre in diesem Fall unendlich (Potenzreihe).

Mir ist der Begriff "Grad" aber nur in Zusammenhang mit Polynomen bekannt.

15.12.2010, 23:42

Theta

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OK, hab verstanden was du meinst, da es undl. viele fz gibt für die fz(x)=1 für x=z gilt, so die Menge aller x für die f(x) ungleich 0 gilt nicht endl. Hab aber da noch eine Frage:
Normaler Weise könnte man ja Funktionen mit Skalaren multiplizieren, hier sieht es aber schlecht aus mit Skalaren oder?

15.12.2010, 23:50

jester.

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Zitat:

Original von Evelyn89
@Theta:

Die Mail von deinem Übungsleiter hier reinzustellen war wirklich unnötig.
Du weißt schließlich nicht, ob er damit einverstanden ist, dass seine Mail hier herumschwirrt.

Da hast du natürlich Recht, habe die E-Mail mal entfernt.

Zitat:

Normaler Weise könnte man ja Funktionen mit Skalaren multiplizieren, hier sieht es aber schlecht aus mit Skalaren oder?

Deine Frage ist unverständlich. Denke nochmal darüber nach, was du eigentlich fragen willst. Du solltest auch in Betracht ziehen, nochmal eine Nacht über die Aufgabe zu schlafen - mit freiem Kopf arbeitet es sich besser.

15.12.2010, 23:58

Theta

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Da hast vllcht Recht, übrigens wollte ich mich für deine Hilfe bedanken, und das mit der Mail hattet ihr Recht, das hätte nicht sein müssen Hammer

.
Guten Nacht Willkommen

16.12.2010, 11:51

Theta

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Das mit der Skalarmultiplikation ist glaub ich ne etwas längere Frage:
Da ich noch nie mit solchen Funktionen addiert oder multipliziert habe, bin ich hier etwas unsicher, also frag ich noch ma nach: Bleiben wir mal bei $\begin{eqnarray*} f_z ~:~ \mathbb{R}\to \mathbb{R}, ~ x\mapsto \begin{cases}1&x=z \\ 0 &\text{sonst}\end{cases} \end{eqnarray*}$ und sagen z=1
Nun da es ja ein Vektorraum ist muss ja eigentlich die Skalarmultiplikation möglich sein, aber gilt wirklich $\begin{eqnarray*} 2*f_1 ~:~ \mathbb{R}\to \mathbb{R}, ~ x\mapsto \begin{cases}1*2=2&x=1 \\ 0 &\text{sonst}\end{cases} \end{eqnarray*}$ ?

Wie sieht es denn aus mit der Addition:
1) Das kann ich mir irgendwie vorstellen, bin mir da aber nicht 100% sicher
$\begin{eqnarray*} f_1+f_2 ~:~ \mathbb{R}\to \mathbb{R}, ~ x\mapsto \begin{cases}1&x=1 und x=2 \\ 0 &\text{sonst}\end{cases} \end{eqnarray*}$

2) Hier glaub ich, dass es nicht geht wollte es aber noch mal nachgefragt haben:
$\begin{eqnarray*} f_1+f_2 ~:~ \mathbb{R}\to \mathbb{R}, ~ x\mapsto \begin{cases}1+1=2&x=1 und x=2 \\ 0 &\text{sonst}\end{cases} \end{eqnarray*}$ ?

3) Das kann ich mir irgendwie vorstellen, bin mir da aber nicht 100% sicher
Seien die Mengen fy und fz Teilmemgen einer Menge M und sei y={1,2} und z={3,...,n}. Wir def. wie folgt:
$\begin{eqnarray*} f_y ~:~ \mathbb{R}\to \mathbb{R}, ~ x\mapsto \begin{cases}2&x=1 und x=2 \\ 0 &\text{sonst}\end{cases} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} f_z ~:~ \mathbb{R}\to \mathbb{R}, ~ x\mapsto \begin{cases}1&x=3,..., x=n \\ 0 &\text{sonst}\end{cases} \end{eqnarray*}$
Wenn wir jetzt beides addieren erhalten wir $\begin{eqnarray*} f_y+f_z ~:~ \mathbb{R}\to \mathbb{R}, ~ x\mapsto \begin{cases}2&x=1 und x=2 \\1&x=3,..., x=n \\ 0 &\text{sonst}\end{cases} \end{eqnarray*}$ . Stimmt das so mit der Addition?
Danke im Voraus

16.12.2010, 12:41

LoBi

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Du hast z.B die Funktionen $\begin{eqnarray*} g,h \end{eqnarray*}$ die überall 0 sind bis auf $\begin{eqnarray*} g(1)=5, g(3)=9, h(4)=6 ,h(8)=10 \end{eqnarray*}$
Dann sehen deine LK der Vektoren g,h so aus
$\begin{eqnarray*} g=5\cdot f_1+9\cdot f_3 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} h=6\cdot f_4+10\cdot f_8 \end{eqnarray*}$
und dann $\begin{eqnarray*} g+h=5\cdot f_1+9\cdot f_3 +6\cdot f_4+10\cdot f_8 \end{eqnarray*}$

Hoffe das Beispiel ist korrekt Gruß

16.12.2010, 13:06

Theta

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was heißt LK?

16.12.2010, 13:07

LoBi

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Linearkombination Augenzwinkern

16.12.2010, 13:12

Theta

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Bist du dir sicher oder fragst du auch nach?

16.12.2010, 13:41

Theta

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Ich weiß nicht ob dein Beispiel stimmt, da müssen wir wohl auf unsere Erfahrenen User warten.

16.12.2010, 14:20

LoBi

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Ich bin mir schon ziemlich sicher, aber wie gesagt ich bin halt auch kein erfahrener User, und möchte niemanden Mist erzählen.

Hier machst du vom Prinzip her ja dasselbe:

Zitat:

1) Das kann ich mir irgendwie vorstellen, bin mir da aber nicht 100% sicher
$\begin{eqnarray*} f_1+f_2 ~:~ \mathbb{R}\to \mathbb{R}, ~ x\mapsto \begin{cases}1&x=1 und x=2 \\ 0 &\text{sonst}\end{cases} \end{eqnarray*}$

Du hast 2 Funktionen addiert die gleich der Basis Elemente sind.

Zitat:

3) Das kann ich mir irgendwie vorstellen, bin mir da aber nicht 100% sicher
Seien die Mengen fy und fz Teilmemgen einer Menge M und sei y={1,2} und z={3,...,n}. Wir def. wie folgt:
$\begin{eqnarray*} f_y ~:~ \mathbb{R}\to \mathbb{R}, ~ x\mapsto \begin{cases}2&x=1 und x=2 \\ 0 &\text{sonst}\end{cases} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} f_z ~:~ \mathbb{R}\to \mathbb{R}, ~ x\mapsto \begin{cases}1&x=3,..., x=n \\ 0 &\text{sonst}\end{cases} \end{eqnarray*}$
Wenn wir jetzt beides addieren erhalten wir $\begin{eqnarray*} f_y+f_z ~:~ \mathbb{R}\to \mathbb{R}, ~ x\mapsto \begin{cases}2&x=1 und x=2 \\1&x=3,..., x=n \\ 0 &\text{sonst}\end{cases} \end{eqnarray*}$

Hier ist natürlich die Frage was du machen willst. Sind $\begin{eqnarray*} f_y, f_z \end{eqnarray*}$ Elemente aus dem Vektorraum, hättest du besser andere Bezeichner gewählt, bei 1 übrigens auch.

16.12.2010, 16:37

Theta

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Wie hätte ich sie denn besser bezeichnen können, mir ist leider nichts besseres eingefallen. Kann sein, dass wir das selbe stehen haben bei dir Addition, aber es kommt mir bei dir ein bisschen komisch vor (formal gesehen, nicht inhaltlich).
Aber wie sieht es denn eigentlich aus mit der Multiplikation, stimmt das was ich da geschrieben hab, oder ist das Quatsch?

16.12.2010, 17:55

kiste

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Lass das mit der Fallunterscheidung einmal sein. Das bringt dir nicht viel, du hast eben Funktionen, wie die aussehen ist erstmal egal.
Die Addition von Funktionen und die Skalarmultiplikation ist auf natürliche Weise definiert. Es ist
$\begin{eqnarray*} f_1+f_2 : \mathbb R \to \mathbb R, x \mapsto f_1(x)+f_2(x) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \lambda f_1 : \mathbb R\to \mathbb R, x\mapsto \lambda f_1(x) \end{eqnarray*}$ für Funktionen $\begin{eqnarray*} f_1,f_2: \mathbb R\to \mathbb R \end{eqnarray*}$ und einem Skalar $\begin{eqnarray*} \lambda\in \mathbb R \end{eqnarray*}$ .

Die Funktionen $\begin{eqnarray*} f_z(x) = \begin{cases} 1 & \text{falls } x=z\\ 0 & \text{sonst}\end{cases} \end{eqnarray*}$ zu betrachten ist übrigens eine gute Idee, diese bilden eine Basis deines Vektorraums(und damit ist er insbesondere unendlich dimensional!).

Das Beispiel von LoBi stimmt übrigens. Verallgemeinert man dieses Beispiel so sieht man bereits einen Teil des Beweises um zu zeigen dass die Funktionen $\begin{eqnarray*} f_z \end{eqnarray*}$ eine Basis bilden.

Du solltest nächstes mal lieber mehr über eine Aufgabe nachdenken bevor du behauptest dass die Hilfe eines Users falsch ist...

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