Verschoben! Facharbeit über zyklische Gruppen

12.12.2010, 18:05

Hase

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Facharbeit über zyklische Gruppen

Meine Frage:
Hallo alle miteinander,

ich hab am 23.12. Facharbeitsabgabe und muss meine Facharbeit leider in Mathe schreiben. Mein Thema sind zyklische Gruppen, aber ich versteh davon ungefähr gar nichts.
Mein Problem beginnt schon damit, allgemein Untergruppen zu definieren und geeignete Beispiele zu finden. Bei den zyklischen Gruppen liegt mein größtes Problem darin, dass ich den euklidischen Algorithmus und die Anwendung von zyklischen Gruppen in der Mathematik durch ihre Isomorphie zu Restklassengruppen, also modulo und zu Drehbewegungsgruppen von regulären n-Ecken in der Ebene nicht verstehe.

Meine Ideen:
Ich habe schon einige Kapitel aus Büchern zu diesen Themen gelesen, aber mit den ganzen Formeln und Zeichen hat mich das alles mehr verwirrt als mir weiterzuhelfen. Mittlerweile habe ich zwar verstanden, dass zyklische Gruppen von einem einzigen Element erzeugt werden und auch Beispiele dazu gefunden, aber das ist leider nur ein kleiner, unbedeutender Teil meiner Arbeit.
Ich hoffe, dass mir hier jemand das ganze Zeug halbwegs verständlich erklären kann, dass ich mit meiner Facharbeit in diesen 2 Wochen fertig werde, denn mein Lehrer erklärt mir nur das, was ich schon verstanden hatte, bei allem andren sagt er mir, dass ich es mir selbst erarbeiten müsste.
Bitte helft mir, auch wenns nur zu einer Frage ist.

Edit (Gualtiero): Ich denke, das ist Hochschulmathe. Hoffentlich hier richtig.

12.12.2010, 23:14

pseudo-nym

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RE: Facharbeit über zyklische Gruppen
Dein Lehrer hat schon recht, wenn er sagt, du sollst dir das selbst erarbeiten. Du wirst denke ich hier niemanden finden, der dir 30 Seiten Algebrabuch vorreferiert.
Wenn du Hilfe willst musst du konktrete Fragen stellen.

Ich lese aus deinem Post zwei grundlegende Probleme heraus mit denen man wohl anfangen sollte.

Zitat:

Original von Hase
Mein Problem beginnt schon damit, allgemein Untergruppen zu definieren [...]

Fang damit an eine Gruppe zu definieren. Poste diese Definition.

Zitat:

Original von Hase
[...]euklidischen Algorithmus[...]

Was ist dir unklar am euklidischen Algorithmus?

@Gualtiero: Das ist tatsächlich in Hochschulalgebra gut aufgehoben.

15.12.2010, 15:35

Hase

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RE: Facharbeit über zyklische Gruppen
Dass mir hier keiner 30 Seiten Algebra referiert ist mir bewusst.
Definition von Gruppe habe ich und eigentlich auch von Untergruppe, nur wollen mir zu Untergruppen keine konkreten Beispiel einleuchten. Warum sind zum Beispiel die ganzen Zahlen eine Untergruppe der rationalen Zahlen?
Und was ist die Ordnung einer Gruppe?

Definition Gruppe:
Eine Menge G mit der Verknüpfung * muss folgende Eigenschaften haben, damit sie als Gruppe gilt:
1. Die Gruppe G muss in sich selbst abgeschlossen sein. Wenn man also zwei Gruppenelemente miteinander verknüpft muss das Ergebnis auch ein Element der Gruppe sein.
2. Die Assoziativität muss gewährleistet sein, folglich muss für alle Gruppenelemente a, b und c gelten: (a * b) * c = a * (b * c)
3. Es muss ein neutrales Element e geben, mit welchem für alle Gruppenelemente a gilt:
a * e = e * a = a
4. Zu jedem Gruppenelement a muss ein inverses Element aÉ¹ in G existieren a * aÉ¹ = aÉ¹ * a = e
Diese 4 Bedingungen legen eine Gruppe genau fest, wenn noch die Kommutativität erfüllt ist, also für alle Gruppenelemente a und b a * b = b * a gilt, nennt man diese Gruppe abelsch.

15.12.2010, 18:53

Math1986

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RE: Facharbeit über zyklische Gruppen

Zitat:

Original von Hase
Warum sind zum Beispiel die ganzen Zahlen eine Untergruppe der rationalen Zahlen?

Wie ist eine Untergruppe denn definiert?
Also wie zeigst du im Allgemeinen, dass eine Teilmenge einer Gruppe eine Untergruppe ist?

Rechne doch einfach die Axiome nach und sag mir an welchem es scheitert (soviel Arbeitseinsatz musst du schon bringen)

Zitat:

Original von Hase
Und was ist die Ordnung einer Gruppe?

Siehe dazu Definitionen nachschlagen

15.12.2010, 19:00

Hase

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RE: Facharbeit über zyklische Gruppen
Eine Untergruppe ist dadurch definiert, dass sie eine Teilmenge der eigentlichen Gruppe ist und dass sie selbst alle Gruppeneigenschaften besitzt
Und trotzdem versteh ich nicht, wie genau jetzt eine Untergruppe entsteht

Meine nächste Frage wäre, was der euklidische Algorithmus mit zyklischen Gruppen zu tun hat? Mein Lehrer hat gesagt, dass das mit rein soll, aber ich seh zwischen diesen beiden keinen Zusammenhang

15.12.2010, 19:09

Math1986

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RE: Facharbeit über zyklische Gruppen

Zitat:

Original von Hase
Eine Untergruppe ist dadurch definiert, dass sie eine Teilmenge der eigentlichen Gruppe ist und dass sie selbst alle Gruppeneigenschaften besitzt
Und trotzdem versteh ich nicht, wie genau jetzt eine Untergruppe entsteht

Ja, genau das musst du zeigen...

Und nochmal:
Rechne doch einfach die Axiome nach und sag mir an welchem es scheitert (soviel Arbeitseinsatz musst du schon bringen)

Zitat:

Original von HaseMeine nächste Frage wäre, was der euklidische Algorithmus mit zyklischen Gruppen zu tun hat? Mein Lehrer hat gesagt, dass das mit rein soll, aber ich seh zwischen diesen beiden keinen Zusammenhang

Du brauchst ihn, wenn du einen einzelnen Erzeuger einer zyklischen Gruppe finden möchtest, zB von

$\begin{eqnarray*} H =<169,195 >= \left\{169\cdot k +195\cdot l\colon k,l\in\mathbb{Z}\right\} \end{eqnarray*}$

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15.12.2010, 19:13

Hase

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erstmal danke

Dann bei den Untergruppen scheiterts dadran, wie ich herausfinden kann, ob die Untergruppe eine Teilmenge von der eigentlichen Gruppe ist. Muss man da die Anzahl an Gruppenelementen durcheinander teilen oder wie macht man das?

15.12.2010, 19:20

Math1986

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Zitat:

Original von Hase
Dann bei den Untergruppen scheiterts dadran, wie ich herausfinden kann, ob die Untergruppe eine Teilmenge von der eigentlichen Gruppe ist. Muss man da die Anzahl an Gruppenelementen durcheinander teilen oder wie macht man das?

Jede Untergruppe ist eine Teilmenge der Gruppe selbst.

Wenn du also eine Menge hast dann nimmst du da irgendein beliebiges Element und zeigst dass es auch in der Gruppe enthalten ist.
Wenn ja, dann ist es eine Teilmenge der Gruppe

Dass jede ganze Zahl auch eine rationale Zahl ist ist schon klar, oder?

15.12.2010, 19:35

Hase

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Ja, dass jede ganze Zahl auch eine rationale Zahl ist ist logisch.

Aber bei endlichen Gruppen und Untergruppen muss doch auch der „Satz von Lagrange“ :
Ist U eine Untergruppe von G, so ist ihre Ordnung |U | ein Teiler von |G|
gelten oder? Und der bedeutet dann doch, dass die Anzahl an Gruppenelementen der Untergruppe die Anzahl an Gruppenelementen der eigentlichen Gruppe teilen muss oder?

Danke für die Hilfe

15.12.2010, 19:41

Math1986

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Zitat:

Original von Hase
Aber bei endlichen Gruppen und Untergruppen muss doch auch der „Satz von Lagrange“ :
Ist U eine Untergruppe von G, so ist ihre Ordnung |U | ein Teiler von |G|
gelten oder? Und der bedeutet dann doch, dass die Anzahl an Gruppenelementen der Untergruppe die Anzahl an Gruppenelementen der eigentlichen Gruppe teilen muss oder?

Ja, der muss gelten, aber die Umkehrung ist im Allgemeinen falsch, d.h. wenn die Ordnung einer Teilmenge die Gruppenordnung teilt dann muss sie nicht unbedingt eine Untergruppe sein

15.12.2010, 19:45

Hase

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Ok, danke, das werde ich mir merken.

Dann hätte ich vorerst noch eine letzte Frage. Was hat die eulersche Funktion mit zyklischen Gruppen zu tun? Irgendwie muss es ja etwas mit der zyklischen Gruppe der Primzahlen zu tun haben, aber auch da erschließt sich mir der Zusammenhang nicht

15.12.2010, 21:12

Hase

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Ich weiß ich hab viel zu viele Fragen, aber die mit der eulerschen Funktion hat sich geklärt, stattdessen hätte ich nochmal eine zum euklidischen Algorithmus

Bleiben wir bei H = <169, 195> = {169*k + 195*l; k.l Element der ganzen Zahlen}

über den Algorithmus hab ich herausgefunden, dass ggT(169,195)= 13 ist, aber was bringt mir das genau? weil 13 ist ja wohl kaum das erzeugende Element dieser zyklischen Gruppe oder?

16.12.2010, 09:30

pseudo-nym

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Doch es gilt:
$\begin{eqnarray*} <13> = <169,195> \end{eqnarray*}$

Allgemein sollst du wohl zeigen, dass für $\begin{eqnarray*} a,b \in \mathbb Z \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} <\operatorname{ggT}(a,b)> = <a,b> \end{eqnarray*}$

16.12.2010, 15:59

Hase

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Danke für die Antwort, das sieht auch einigermaßen schlüssig aus, wenn man weiß was < a > überhaupt bedeutet und das tue ich nicht und leider finde ich auch in keinem meiner Bücher eine Definition dazu.

16.12.2010, 16:41

Cugu

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Du hast doch selbst geschrieben, wass $\begin{eqnarray*} \langle \cdot \rangle \end{eqnarray*}$ bedeutet:

Zitat:

<169, 195> = {169*k + 195*l; k.l Element der ganzen Zahlen}

Demnach ist dann doch wohl $\begin{eqnarray*} \langle a \rangle = a\mathbb Z = \{a\cdot k : ~ k\in \mathbb Z\}. \end{eqnarray*}$

Also sind $\begin{eqnarray*} \langle13\rangle \end{eqnarray*}$ genau die Vielfachen von $\begin{eqnarray*} 13 \end{eqnarray*}$ .
Dass ganze Zahlen die sich als $\begin{eqnarray*} 169\cdot k + 195 \cdot \ell \end{eqnarray*}$ schreiben lassen, Vielfache von $\begin{eqnarray*} 13 \end{eqnarray*}$ kann man sich ganz einfach übererlegen.
Also gilt doch schon mal $\begin{eqnarray*} \langle 169,195 \rangle \subseteq \langle 13 \rangle \end{eqnarray*}$

In der Tat kann man (siehe http://de.wikipedia.org/wiki/Erweiterter...her_Algorithmus) aber auch $\begin{eqnarray*} a,b \end{eqnarray*}$ finden mit $\begin{eqnarray*} 169\cdot a + 195 \cdot b=13 \end{eqnarray*}$ .
Dann ist $\begin{eqnarray*} 169\cdot a\cdot k + 195 \cdot b \cdot k=13 \cdot k \end{eqnarray*}$ und damit $\begin{eqnarray*} \langle 13 \rangle \subseteq \langle 169,195 \rangle \end{eqnarray*}$ .

Zitat:

weil 13 ist ja wohl kaum das erzeugende Element dieser zyklischen Gruppe oder?

Was ist überhaupt in diesem Fall die Verknüpfung?

16.12.2010, 16:58

Hase

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Dies ist eine zyklische Gruppe mit dem erzeugenden Element 13 bezüglich einer additiven Verknüpfung

16.12.2010, 17:06

Cugu

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Ja, ich weiß das wohl. Aber weißt du was damit gemeint ist?

16.12.2010, 17:15

Hase

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Damit ist gemeint, dass alle Gruppenelemente durch mehrmalige Addition der 13 erzeugt werden können

16.12.2010, 17:40

Cugu

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Ja, genau. Die Gruppenelemente sind also Vielfache von $\begin{eqnarray*} 13 \end{eqnarray*}$ und die Verknüpfung ist die gewöhnliche Addition ganzer Zahlen. Man kann leicht nachrechnen, dass das eine Gruppe ist, eine Untergruppe der ganzen Zahlen.

Hast du sonst noch Fragen?

16.12.2010, 17:49

Hase

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Ich hätt nur noch die Frage was genau zyklische Gruppen mit modulo und drehgruppen zu tun hat^^
Ist deren einzige verbindung, dass man die eine durch die andre abbilden kann, sie also theoretisch sowas wie äquvalent sind?

16.12.2010, 18:18

Cugu

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Du meinst mit Drehgruppe, die Menge aller Drehungen (sagen wir im Uhrzeigersinn) die eine Figur z.B. ein Rechteck auf sich selbst abbildet? Die enthält dann doch (im Falle eines Rechtecks, das kein Quadrat ist) die Drehungen um 180° und 0°.
Die Verknüpfung ist dann die Hintereinanderausführung der Drehungen. Zum Beispiel entsprechen eine Drehung um 180° und eine weitere Drehung um 180° einer Drehungung um 360°=0°.
Du kannst ganz einfach sehen, dass die beiden Drehungen eine Gruppe bilden.

Wenn du nun der Drehung um 0° die 0 und der 180° Drehung die 1 zuordnest, was fällt dir auf?

16.12.2010, 18:46

Hase

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Dass ich eine Gruppe der Ordnung 2 habe?
Ich bin mir nicht sicher

16.12.2010, 18:54

Cugu

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Naja, das auch.

Du kannst doch nun so weiter machen und der Drehung um 360° die 2, der Drehung um 540° die 3, der Drehung um 720° die 4 usw. zuordnen...

Nun sind bestimmte Zahlen davon gerade und andere ungerade...
Außerdem ist man bei 360° einmal rum...
Was fällt auf?

16.12.2010, 19:07

Hase

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naja wenn man das immer weiter so addiert kommt man wieder zu der zyklischen Gruppe (Z, +)

16.12.2010, 19:51

Cugu

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Ja, gut. Worauf ich eigentlich hinauswollte ist, dass bestimmte Drehungen zum selben Resultat führen z.B. Drehen um 0°, 360°, 720° etc. (Man erhält die Ausgangsposition).
Drehen um 180°, 540°, 900° führt auch zum selben Resultat. (Allerdings ist das nicht die Ausgangsposition.)
Diese beiden Klassen von Drehungen kann man nun in Äquivalenzklassen zusammenfassen $\begin{eqnarray*} [0°]:=\{0°, 360°, 720°, ...\} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} [180°]:=\{180°, 540°, 900°,...\} \end{eqnarray*}$ .
Wenn du dir nun die Zahlen anguckst, die dem zugeordnet wurden, dann siehst du das die linke Mengen den geraden Zahlen $\begin{eqnarray*} [0] \end{eqnarray*}$ und die rechte den ungeraden Zahlen $\begin{eqnarray*} [1] \end{eqnarray*}$ entspricht.
Wenn du dir die Gruppenstrukturen anguckst wirst du feststellen, dass die beiden Gruppen $\begin{eqnarray*} \{[0°],[180°]\} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \{[0],[1]\} \end{eqnarray*}$ isomorph sind.
Das heißt bis auf Bezeichnung der Elemente sind beide genau dasselbe.

Genauso kannst du das jetzt z.B. mit Quadraten machen, wenn du statt geraden und ungeraden Zahlen modulo 4 rechnest.

16.12.2010, 20:07

Hase

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Also käme man bei einem Rechteck dann auf modulo 2 ?

16.12.2010, 20:54

Cugu

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Zitat:

Also käme man bei einem Rechteck dann auf modulo 2 ?

Ja, das hast du da oben schon gesagt.

Zitat:

Dass ich eine Gruppe der Ordnung 2 habe?

Es stimmt immer noch.

Es gibt nun mal bis auf Isomorphie nur eine zyklische Gruppe mit 2 Elementen.

16.12.2010, 20:55

Cugu

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Zitat:

Also käme man bei einem Rechteck dann auf modulo 2 ?

Ja, das hast du da oben schon gesagt:

Zitat:

Dass ich eine Gruppe der Ordnung 2 habe?

Es stimmt immer noch.

Es gibt nun mal bis auf Isomorphie nur eine zyklische Gruppe mit 2 Elementen.

16.12.2010, 21:14

Hase

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Vielen Danke, das hat mir alles wirklich sehr weitergeholfen, jetzt hab ich meine Facharbeit wirklich fertig und vor allem auch verstanden

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