Malwieder die vollständige Induktion

12.12.2010, 18:20

Mö

Auf diesen Beitrag antworten »

Malwieder die vollständige Induktion

Meine Frage:
Wir sollen folgende Formel mit vollständiger Induktion beweisen.

$\begin{eqnarray*} e\left(\frac{n}{e}\right) ^n \leq n! \end{eqnarray*}$ wenn gilt n>=1
verwenden sollen wir ein Lemma, welches besagt 1+x<=e^x

Meine Ideen:
Der Induktions Anfang haut soweit hin

hab für n=1 eingesetzt und kam auf das Ergebniss 1=<1 (wahre Aussage)

Beim Induktionsschritt setzte ich n+1 ein und komme somit auf folgende Formel

$\begin{eqnarray*} e\left(\frac{n+1}{e}\right)^{n+1}\leq \left(n+1\right)! \end{eqnarray*}$

mein nächster Gedanke wäre die linke seite folgender Maßen umzuformen

$\begin{eqnarray*} e\left(\frac{n+1}{e}\right)^{n}+\left(\frac{n+1}{e} \right) \end{eqnarray*}$

meine Frage an dieser Stelle wäre, ob es überhaupt erlaubt ist den Term so umzuformen? Oder ob ich schon anders an die Aufgabe ranzugehen haben.

gruß mö

12.12.2010, 18:23

lgrizu

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Malwieder die vollständige Induktion

Zitat:

Original von Mö
Beim Induktionsschritt setzte ich n+1 ein und komme somit auf folgende Formel

$\begin{eqnarray*} e\left(\frac{n+1}{e}\right)^{n+1}\leq \left(n+1\right)! \end{eqnarray*}$

Setze erst einmal nur in die linke Seite n+1 ein und nutze dann die Vorraussetzung.

Zitat:

Original von Mö
mein nächster Gedanke wäre die linke seite folgender Maßen umzuformen

$\begin{eqnarray*} e\left(\frac{n+1}{e}\right)^{n}+\left(\frac{n+1}{e} \right) \end{eqnarray*}$

meine Frage an dieser Stelle wäre, ob es überhaupt erlaubt ist den Term so umzuformen?

geschockt

Nein, das ist es nicht....

$\begin{eqnarray*} e\left(\frac{n+1}{e}\right)^{n+1} \neq e\left(\frac{n+1}{e}\right)^{n}+\left(\frac{n+1}{e} \right) \end{eqnarray*}$ , hier gilt es, die Potenzgesetze zu beachten.

12.12.2010, 19:10

Mö

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Malwieder die vollständige Induktion
ok
hoffe so stimmt es smile

smile

$\begin{eqnarray*} e\left(\frac{n+1}{e}\right)^{n+1}=e*\frac{n+1}{e}*\left(\frac{n+1}{e}\right)^{n} \end{eqnarray*}$

12.12.2010, 19:21

lgrizu

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Malwieder die vollständige Induktion
jap, so kann man es machen, wie schaut nun der Induktionssschluss aus?

12.12.2010, 19:43

Mö

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Malwieder die vollständige Induktion
hm...
ich glaube ich könnte jetzt erstmal ne andere Schreibweise der Zahl 1 dazu multiplizieren

$\begin{eqnarray*} e*\frac{n+1}{e}*\left(\frac{n+1}{e}\right)^{n}*\left(\frac{n}{e}\right)^n *\left(\frac{e}{n}\right)^n \end{eqnarray*}$

dadurch kann ich dann ein bisschen weggkürzen und umformen um die Induktions Vorraussetzung nutzen zu können

$\begin{eqnarray*} e*\left(\frac{n}{e}\right)^n * \frac{n+1}{e}* \left(\frac{n+1}{n}\right)^n \end{eqnarray*}$

jezt weiß ich das der erste teil <= n! ist
jetzt müsst ich also zeigen, dass sich durch das dazu multiplizieren von

$\begin{eqnarray*} \frac{n+1}{e}* \left(\frac{n+1}{n}\right)^n \end{eqnarray*}$

nichts daran ändert... dabei kann mir bestimmt das gegebene Lemma helfen
jedoch weiß ich grad nicht weiter traurig

traurig

12.12.2010, 19:57

lgrizu

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Malwieder die vollständige Induktion
Das meiste, was du gemacht hast ist überflüssig.

Was man gebrauchen kann ist folgendes:

$\begin{eqnarray*} e \cdot ( \frac{n}{e})^n \leq n! \end{eqnarray*}$

Wir setzen links n+1 ein und erhalten:

$\begin{eqnarray*} e \cdot \left( \frac{n+1}{e}\right)^{n+1}=e \cdot \left( \frac{n+1}{e}\right)^n \cdot \frac{n+1}{e} \end{eqnarray*}$ .

Wende nun die Vorraussetzung an, ein wenig argumentieren gehört auch dazu Augenzwinkern

Augenzwinkern

Vielleicht fällt es dir aber auch einfacher, von "rechts nach links" zu gehen, also rechts n+1 einzusetzen und auf $\begin{eqnarray*} n! \cdot (n+1) \end{eqnarray*}$ die Vorraussetzung anzuwenden.

Anzeige

12.12.2010, 20:09

Mö

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Malwieder die vollständige Induktion
hm... da steh ich grad irgendwie aufm schlauch Hammer

Hammer

wie ist denn das gemeint mit die Vorraussetzung anwenden?

12.12.2010, 20:12

lgrizu

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Malwieder die vollständige Induktion
Na, du hast die Vorraussetzung $\begin{eqnarray*} e\left(\frac{n}{e}\right) ^n \leq n! \end{eqnarray*}$ .

Wenn du nun $\begin{eqnarray*} n! \cdot (n+1) \end{eqnarray*}$ betrachtest, so kann man das als eine multiplikation von (n+1) mit der Ungleichung $\begin{eqnarray*} e\left(\frac{n}{e}\right) ^n \leq n! \end{eqnarray*}$ auffassen, da (n+1) mit Sicherheit positiv ist ändert sich auch nichts an der Relation.

12.12.2010, 20:24

Cugu

Auf diesen Beitrag antworten »

Das führt doch auf genau das, was Mö vor einigen Posts schon bemerkt hat, nämlich, dass $\begin{eqnarray*} \frac{1}{e}\cdot \left(\frac{n+1}{n}\right)^n \leq 1 \end{eqnarray*}$ zu zeigen ist.
Und dabei hilft in der Tat das Lemma.

12.12.2010, 20:25

lgrizu

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von Cugu
Das führt doch auf genau das, was Mö vor einigen Posts schon bemerkt hat, nämlich, dass $\begin{eqnarray*} \frac{1}{e}\cdot \left(\frac{n+1}{n}\right)^n \leq 1 \end{eqnarray*}$ zu zeigen ist.
Und dabei hilft in der Tat das Lemma.

Und in welchem Post hat er das bemerkt? verwirrt

verwirrt

12.12.2010, 20:30

Cugu

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

jezt weiß ich das der erste teil <= n! ist jetzt müsst ich also zeigen, dass sich durch das dazu multiplizieren von $\begin{eqnarray*} \frac{n+1}{e}* \left(\frac{n+1}{n}\right)^n \end{eqnarray*}$ nichts daran ändert... dabei kann mir bestimmt das gegebene Lemma helfen jedoch weiß ich grad nicht weiter traurig

Da war nur der kleine Fehler, dass der Term $\begin{eqnarray*} (n+1) \end{eqnarray*}$ benötigt wird, um aus $\begin{eqnarray*} n! \end{eqnarray*}$ das gewünschte $\begin{eqnarray*} (n+1)! \end{eqnarray*}$ zu machen. Ansonsten war das Vorgehen aber richtig.

12.12.2010, 21:21

Mö

Auf diesen Beitrag antworten »

hm... also würde ich den weg von Cugu weitergehen
würde es dann reichen wenn ich zeige das

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{e}\cdot%20\left(\frac{n+1}{n}\right)^n%20\leq%201 \end{eqnarray*}$ ist?

12.12.2010, 22:00

Cugu

Auf diesen Beitrag antworten »

Du musst doch $\begin{eqnarray*} e\left(\frac{n+1}{e}\right)^{n+1}\leq \left(n+1\right)! \end{eqnarray*}$ zeigen.
Das hast du in $\begin{eqnarray*} e\cdot \left(\frac{n}{e}\right)^n \cdot \frac{n+1}{e}\cdot \left(\frac{n+1}{n}\right)^n \leq \left(n+1\right)! \end{eqnarray*}$ umgeformt.
Dann hast du gesagt, dass nun einen Teil wegen $\begin{eqnarray*} e\left(\frac{n}{e}\right) ^n \leq n! \end{eqnarray*}$ ersetzen kannst.
Na dann bleibt doch wohl $\begin{eqnarray*} \frac{n+1}{e}\cdot \left(\frac{n+1}{n}\right)^n \leq n+1 \end{eqnarray*}$ zu zeigen.
(Die linke Seite habe ich oben bei dir abgeschrieben und die rechte ist trivial. Man beachte, dass die Relation invariant gegenüber der Division durch $\begin{eqnarray*} n!> 0 \end{eqnarray*}$ ist. )
Wenn du noch den Hinweis von lgrizu benutzt, dass $\begin{eqnarray*} n+1 \end{eqnarray*}$ größer $\begin{eqnarray*} 0 \end{eqnarray*}$ ist, dann erhälst du doch $\begin{eqnarray*} \frac{1}{e}\cdot%20\left(\frac{n+1}{n}\right)^n%20\leq%201 \end{eqnarray*}$ als zu zeigende Gleichung.
Die Antwort ist also, ja das reicht.

----

Noch ein Tipp: Zeig zunächst $\begin{eqnarray*} \frac{n+1}{n}\leq e^{ \frac{1}{n}} \end{eqnarray*}$ .

12.12.2010, 23:01

Mö

Auf diesen Beitrag antworten »

könnte ich auch schreiben

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{e} *\left(\frac{n+1}{e}\right)^n \end{eqnarray*}$ = $\begin{eqnarray*} \frac{1}{e} *\left(1+\frac{1}{n}\right)^n \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} \leq \left(e^{\frac{1}{n} } \right)^n*\frac{1}{e} =e^1*\frac{1}{e} \end{eqnarray*}$

so komm ich auf 1=1

ich hoffe jetzt nur das ich da nich irgendwas mit dem umformen der Klammer durcheinander gebracht habe....

12.12.2010, 23:11

Cugu

Auf diesen Beitrag antworten »

Den Term ganz links hast du falsch abgeschrieben, ansonsten dürfte das richtig sein.

Zitat:

so komm ich auf 1=1

Nur so nebenbei:
Schreib auf gar keinen Fall sowas wie $\begin{eqnarray*} ...\Rightarrow 1=1 \end{eqnarray*}$ . Das ist Quatsch.
Was du benutzt ist die entgegengesetzte Richtung. Aber das sieht dann immer noch albern aus.

12.12.2010, 23:15

Mö

Auf diesen Beitrag antworten »

stimmt in den zähler muss natürlich ein n

ok dann bedankt ich mich für die schnelle hilfe von euch beiden ^^

schönen abend noch Wink

Wink

1

Verwandte Themen

Die Beliebtesten »

Die Größten »

Die Neuesten »