Potenzreihe - Konvergenzradius/Verhalten am Rand des Konvergenzintervalls

12.12.2010, 18:44

metriod

Potenzreihe - Konvergenzradius/Verhalten am Rand des Konvergenzintervalls

Hallo Matheboard!

Ich melde mich mal wieder mit diversen Fragen Augenzwinkern

1. Im Repetitorium der höheren Mathematik gibt es ein Beispiel zum Konvergenzbereich:
$\begin{eqnarray*} x+4x^2+27x^3+256x^4+...=\sum\limits_{n=0}^\infty n^nx^n \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty } .^n\sqrt{ | a_{n} | } =\lim_{n \to \infty } n = \infty \end{eqnarray*}$ woraus folgen soll, dass der Konvergenzradius r=0 ist und der Konvergenzbereich enthalte nur den Entwicklungspunkt 0.

a) Wie kommt ich $\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty } .^n\sqrt{ | a_{n} | } \end{eqnarray*}$ auf $\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty } n \end{eqnarray*}$ ?
Den Betrag kann ich ja umformen auf Quadratwurzel und Quadrat als Potenz, das hilft mir aber nicht wirklich weiter...

Wieso ist der Konvergenzbereich lediglich der Entwicklungspunkt 0? Bzw. wie kommt ich auf diesen Entwicklungspunkt?

Danke im Voraus!!

12.12.2010, 18:51

system-agent

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$\begin{eqnarray*} a_n=n^n \end{eqnarray*}$ und was ist daraus nun die n-te Wurzel?

12.12.2010, 18:56

metriod

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n, aber wo bleibt das x^n?

12.12.2010, 18:58

system-agent

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Der Konvergenzradius hängt nur von der Folge der Koeffizienten ab. Siehe dazu zb hier.

12.12.2010, 19:27

metriod

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Ah, hast Recht!
Das geht ja aus der Formel für den Konvergenzradius hervor...!

Noch zu a)
Unklar ist mir leider wieso der Konvergenzbereich lediglich 0 (der Entwicklungspunkt ist) bzw. wie man auf diesen Entwicklungspunkt kommt.

Gibt es da Formeln zu Berechnung bzw. was muss betrachtet werden um darauf zu kommen?

Danke!

12.12.2010, 19:29

system-agent

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Zitat:

Original von metriod
Gibt es da Formeln zu Berechnung bzw. was muss betrachtet werden um darauf zu kommen?

Hast du den Wikipedia-Artikel eigentlich gelesen? verwirrt

Da steht die Formel von Cauchy-Hadamard. Und nebenbei hast du genau diese Formel angewandt.

Der Konvergenzradius $\begin{eqnarray*} r \end{eqnarray*}$ ist gegeben durch
$\begin{eqnarray*} r=\frac{1}{\limsup_{n\to\infty}\sqrt[n]{|a_n|}} \end{eqnarray*}$ .

Du musst nur noch einsetzen.

12.12.2010, 19:41

metriod

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Danke für die rasche Rückmeldung.

Den Wikipedia Artikel hatte ich bereits gelesen.

Die Formel von Cauchy-Hadamard dient ja zur Berechnung des Konvergenzradiuses.

Meine Fragen beziehen sich ja auf den KonvergenzBEREICH und den Entwicklungspunkt.

Der Konvergenzbereich ist definiert als: $\begin{eqnarray*} (x_0-r, x_0+r) \end{eqnarray*}$

Wenn ich aber nicht weiß, wie ich den Entwicklungspunkt berechne, kann ich den Konvergenzbereich ja auch nicht berechnen.

Dass der Entwicklungspunkt bei a) gleich = 0 ist scheint offensichtlich, aber es wird ja nicht bei jedem Beispiel so leicht sein auf den Entwicklungspunkt zu kommen, oder?

12.12.2010, 19:44

system-agent

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Die allgemeine Form einer Potenzreihe ist doch $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{n=0}^{\infty}a_n(x-x_0)^n \end{eqnarray*}$ und dabei heisst $\begin{eqnarray*} x_0 \end{eqnarray*}$ der Entwicklungspunkt.

Nun vergleiche das mit deiner Potenzreihe:
Was ist in deinem Fall $\begin{eqnarray*} a_n \end{eqnarray*}$ ? Was ist $\begin{eqnarray*} x_0 \end{eqnarray*}$ ?

12.12.2010, 19:50

metriod

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Zitat:

Original von system-agent
Die allgemeine Form einer Potenzreihe ist doch $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{n=0}^{\infty}a_n(x-x_0)^n \end{eqnarray*}$ und dabei heisst $\begin{eqnarray*} x_0 \end{eqnarray*}$ der Entwicklungspunkt.

Nun vergleiche das mit deiner Potenzreihe:
Was ist in deinem Fall $\begin{eqnarray*} a_n \end{eqnarray*}$ ? Was ist $\begin{eqnarray*} x_0 \end{eqnarray*}$ ?

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{n=0}^\infty n^nx^n \end{eqnarray*}$ kann man ja auch so schreiben:
$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{n=0}^\infty n^n*(x-0)^n \end{eqnarray*}$

Also ist offensichtlich, dass $\begin{eqnarray*} x_0=0 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} a_n=n^n \end{eqnarray*}$ ist.

Wie zuvor geschrieben, ist es nicht schwer bei diesem Beispiel. Da ich aber noch keine komplexeren Beispiele kenne, stellt sich nun die Frage, ob es bei anspruchsvolleren Aufgaben zu Potenzreihen auch so offensichtlich ist?

12.12.2010, 19:54

system-agent

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Zitat:

Original von metriod
Also ist offensichtlich, dass $\begin{eqnarray*} x_0=0 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} a_n=n^2 \end{eqnarray*}$ ist.

Du meinst $\begin{eqnarray*} a_n=n^n \end{eqnarray*}$ Augenzwinkern

.

Potenzreihen sind immer so aufgebaut. Da gibt es nichts weiteres. Das Einzige was kompliziert sein kann ist die Koeffizentenfolge $\begin{eqnarray*} a_n \end{eqnarray*}$ .

12.12.2010, 20:55

metriod

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Danke, die Edith war zum Glück noch innerhalb der 15min Frist da und hat ihres Amtes gewaltet Big Laugh

So, damit sind die grundlegenden Fragen beantwortet.

Die eigentliche Berechnung von Konvergenzradius und Bereich scheint leichter als gedacht.

Da aber der Threadtitel diese anspricht, möchte ich mal für künftige Reinschauer ein Beispiel "vorrechnen" Augenzwinkern

Bitte um Korrektur falls falsch.

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{n=0}^{\infty}\frac{n^n*x^n}{(n+1)^n} = \sum\limits_{n=0}^{\infty}\frac{n^n}{(n+1)^n}*(x-0)^n \end{eqnarray*}$
Hieraus folgt, dass x_0=0 der Entwicklungspunkt ist.

Konvergenzradius r:
Soweit sind mir zwei Formeln bekannt:

$\begin{eqnarray*} r= \lim_{n \to \infty} \frac{1}{^n \sqrt{ | a_n | } } \end{eqnarray*}$

und

$\begin{eqnarray*} r= \lim_{n \to \infty} \frac{1}{ | \frac{a_{n+1}}{a_n} | } \end{eqnarray*}$

Die Berechnung mit Ersteren fällt zumindest bei diesem Beispiel leichter.

$\begin{eqnarray*} r= \lim_{n \to \infty} \frac{1}{^n \sqrt{ |\frac{n^n}{(n+1)^n} | } } = \lim_{n \to \infty} \frac{1}{ \frac{ ^n\sqrt{n^n} }{^n\sqrt{(n+1)^n} } }=\lim_{n \to \infty} \frac{ \frac{1}{1}}{ \frac{ n }{(n+1) } }= \lim_{n \to \infty} \frac{n+1}{ n }= \frac{\infty}{ \infty } \end{eqnarray*}$

-->L'Hospital $\begin{eqnarray*} [ \lim_{n \to \infty} \frac{n+1}{ n }]'=\frac{1}{1 } = 1 \end{eqnarray*}$
Somit haben wir den Konvergenzradius berechnet Augenzwinkern

Nun zum
Konvergenzbereich = (x_0-r, x_o +r)

(0-r,0+r)-->(0-1,0+1)= (-1,1) ist der Konvergenzbereich.

So, ich hoffe, damit ist alles Grundlegende zu Potenzreihen im Thread vorhanden und ist somit hoffentlich auch für andere von Hilfe!

Zusatz Konvergenzradius:
Wenn bei der Berechnung des Konvergenzradiuses
$\begin{eqnarray*} \infty \end{eqnarray*}$ rauskommt ist der Radius = 0,
wenn
0 raus kommt ist der Radius = $\begin{eqnarray*} \infty \end{eqnarray*}$

Zusatz Konvergenzbereich:
Innerhalb von IR bestehen nur 3 Möglichkeiten:
*Die Reihe konvergiert nur mit den Entwicklungspunkt.
*Die Reihe konvergiert für alle x $\begin{eqnarray*} \in \end{eqnarray*}$ von IR.
*Die Reihe konvergiert für alle x aus einem endlichen, offenen Intervall (x_0-r, x_0+r) und höchstens in den beiden Randpunkten x_0-r,x_0+r.

Dabei sind 3 Fälle möglich:
-Reihe konvergiert in beiden Randpunkten.
-Reihe konvergiert in genau einem Randpunkt.
-Reihe konvergiert in keinem Randpunkt.

Danke system-agent!

12.12.2010, 21:04

metriod

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Doch noch eine Frage.
Konvergenzradius und -bereich sind ja nun berechnet.

Wenn allerdings noch nach "Verhalten am Rand des Konvergenzintervalls" gefragt ist, was muss ich dann tun?
Habs doch gewusst, dass es so leicht nicht sein kann Big Laugh

Zum Beispiel:

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{n=0}^{\infty}\frac{n^n*x^n}{(n+1)^n} \end{eqnarray*}$

für x=1
$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{n=0}^{\infty}\frac{n^n*1^n}{(n+1)^n} =\sum\limits_{n=0}^{\infty}\frac{n^n}{(n+1)^n} \end{eqnarray*}$

für x=-1
$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{n=0}^{\infty}\frac{n^n*-(1)^n}{(n+1)^n} \end{eqnarray*}$

Was kann ich nun zum Verhalten am Rand des Konvergenzintervalls sagen?

Muss leider anmerken, dass ich mich bisher mit Reihen eher wenig beschäftigt habe...

12.12.2010, 23:40

metriod

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Ich kriegs leider nicht hin.

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{n=0}^{\infty}\frac{n^n*x^n}{(n+1)^n} \end{eqnarray*}$

für x=1 (Verhalten am Rad des Konvergenzintervalls)

Die Reihen Glieder sehen ja so aus:
$\begin{eqnarray*} 1 + \frac{1}{2} + \frac{4}{9} + \frac{27}{64} \end{eqnarray*}$
Das würde ja bedeuten, die Reihe geht gegen unendlich -> divergiert?

Benützt man jedoch das Wurzelkriterium, erhalte ich den Ausdruck: $\begin{eqnarray*} \frac{1^n}{1+(\frac{1}{n})^n } <1 \end{eqnarray*}$ was für absolute Konvergenz spricht?
$\begin{eqnarray*} (\frac{1}{n})^n \end{eqnarray*}$ geht zwar gegen 0 aber wird ja nicht 0 oder?
Wenn man $\begin{eqnarray*} (\frac{1}{n})^n \end{eqnarray*}$ gleich 0 setzt, dann liefert das Wurzelkriterium 1, was ja bedeuten würde, dass keine aussage getroffen kann? Wie wäre dann weiter vorzugehen?

Könnt mir jmd. einen Tipp geben bitte?

13.12.2010, 08:16

system-agent

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Zitat:

Original von metriod
$\begin{eqnarray*} r= \lim_{n \to \infty} \frac{1}{^n \sqrt{ | a_n | } } \end{eqnarray*}$

Das ist Falsch. Das wichtige in der richtigen Formel
$\begin{eqnarray*} r=\frac{1}{\limsup_{n\to\infty}\sqrt[n]{|a_n|}} \end{eqnarray*}$
ist gerade der $\begin{eqnarray*} \limsup \end{eqnarray*}$ , denn dieser existiert immer, ganz im Gegensatz zu einem Limes. Sprich diese Formel um den Konvergenzradius zu kriegen kann man wirklich immer anwenden.
Auch im Gegensatz zu deiner zweiten Formel; diese geht nicht wenn die Koeffizientenfolge auch mal Nullen hat.

Zitat:

Original von metriod
$\begin{eqnarray*} r= \lim_{n \to \infty} \frac{1}{^n \sqrt{ |\frac{n^n}{(n+1)^n} | } } = \lim_{n \to \infty} \frac{1}{ \frac{ ^n\sqrt{n^n} }{^n\sqrt{(n+1)^n} } }=\lim_{n \to \infty} \frac{ \frac{1}{1}}{ \frac{ n }{(n+1) } }= \lim_{n \to \infty} \frac{n+1}{ n }= \frac{\infty}{ \infty } \end{eqnarray*}$

-->L'Hospital $\begin{eqnarray*} [ \lim_{n \to \infty} \frac{n+1}{ n }]'=\frac{1}{1 } = 1 \end{eqnarray*}$

*Hust* Also trotz richtiger Antwort würde ich dir hier fast alle Übungspunkte abziehen. Zum einen ist das formal ziemlich falsch und zum zweiten hat hier L'Hospital garnichts verloren.
Das Zauberwort um den Grenzwert zu berechnen ist ganz wie in der Schule die Grenzwertsätze.

Zitat:

Original von metriod
Zusatz Konvergenzradius:
Wenn bei der Berechnung des Konvergenzradiuses
$\begin{eqnarray*} \infty \end{eqnarray*}$ rauskommt ist der Radius = 0,
wenn
0 raus kommt ist der Radius = $\begin{eqnarray*} \infty \end{eqnarray*}$

Alles falsch. Nochmals: Mit $\begin{eqnarray*} r=\frac{1}{\limsup_{n\to\infty}\sqrt[n]{|a_n|}} \end{eqnarray*}$ berechnest du den Konvergenzradius und da ist nichts weiter zu tun.
Was du meinst ist, dass falls das, was im Nenner steht gegen $\begin{eqnarray*} \infty \end{eqnarray*}$ geht, dass der Konvergenzradius dann Null ist - aber das sollte trivial sein. Entsprechend, wenn der Nenner gegen Null geht, dann ist der Radius $\begin{eqnarray*} \infty \end{eqnarray*}$ , auch das sollte trivial sein.

Was das Randverhalten angeht, da muss man wirklich alles separat untersuchen. Bei deinem Beispiel jetzt:

Zitat:

Original von metriod
für x=1
$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{n=0}^{\infty}\frac{n^n*1^n}{(n+1)^n} =\sum\limits_{n=0}^{\infty}\frac{n^n}{(n+1)^n} \end{eqnarray*}$

Das sollte klar sein dass die Reihe hier divergiert, nach Trivialkriterium [Summandenfolge konvergiert nicht gegen Null].

Zitat:

Original von metriod
für x=-1
$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{n=0}^{\infty}\frac{n^n*-(1)^n}{(n+1)^n} \end{eqnarray*}$

Falsch. Dein Vorzeichen stimmt nicht. Das Minuszeichen muss in die Klammer die die 1 umgibt.

13.12.2010, 09:12

metriod

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Zitat:

Original von system-agent

Zitat:

Original von metriod
$\begin{eqnarray*} r= \lim_{n \to \infty} \frac{1}{^n \sqrt{ | a_n | } } \end{eqnarray*}$

Im Repetitorium d. höheren Mathematik sind beide Formeln angegeben mit Zusatz, wenn die erstere (Wurzelformel) keinen limes hat, man den limes sup betrachten soll.

Dass die zweitere nicht anwendbar ist, wenn die Koeffizientenfolge auch mal Nullen hat wird garnicht erwähnt unglücklich

Zitat:

Original von system-agent

Zitat:

Du meinst, dass Grenzwerte addiert/subtrahiert, multipliziert/dividiert werden können?
Wo genau wären diese anwendbar gewesen?

$\begin{eqnarray*} = \lim_{n \to \infty} \frac{n+1}{ n } \end{eqnarray*}$ bis dahin wars hoffentlich richtig?

Zitat:

Original von system-agent

Zitat:

Muss man tatsächlich nur den Nenner betrachten?
Im Repetitorium steht aus a (die Reihe konvergiert nur im Entwicklungspunkt) folgt, wenn $\begin{eqnarray*} \lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{|a_n|}=\infty \end{eqnarray*}$ , dann ist der Radius = 0. (mag trivial sein, ich wollte es nur erwähnt haben, weil es auch im Buch explizit erwähnt wurde)
Dass dies lediglich für die Betrachtung des Nenners gilt wird mit keinem Wort erwähnt, dass kanns doch nicht sein? :/

Zitat:

Original von system-agent
Was das Randverhalten angeht, da muss man wirklich alles separat untersuchen. Bei deinem Beispiel jetzt:

Zitat:

Original von metriod
für x=1
$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{n=0}^{\infty}\frac{n^n*1^n}{(n+1)^n} =\sum\limits_{n=0}^{\infty}\frac{n^n}{(n+1)^n} \end{eqnarray*}$

Das sollte klar sein dass die Reihe hier divergiert, nach Trivialkriterium [Summandenfolge konvergiert nicht gegen Null].

Zitat:

Original von system-agent
[quote]Original von metriod
für x=-1
$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{n=0}^{\infty}\frac{n^n*-(1)^n}{(n+1)^n} \end{eqnarray*}$

Falsch. Dein Vorzeichen stimmt nicht. Das Minuszeichen muss in die Klammer die die 1 umgibt.

Sorry, ist ein Tippfehler.

Jedenfalls Danke für die ausführliche Rückmeldung.

13.12.2010, 12:41

system-agent

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Zitat:

Original von metriod
Im Repetitorium d. höheren Mathematik sind beide Formeln angegeben mit Zusatz, wenn die erstere (Wurzelformel) keinen limes hat, man den limes sup betrachten soll.

Die Sache ist aber eben eher umgekehrt. Die richtige Formel ist die mit dem $\begin{eqnarray*} \limsup \end{eqnarray*}$ und weil dieser immer existiert kann man es immer anwenden. Natürlich, falls die Folge $\begin{eqnarray*} \sqrt[n]{|a_n|} \end{eqnarray*}$ konvergieren sollte, dann gilt $\begin{eqnarray*} \limsup=\lim \end{eqnarray*}$ und das Ganze geht über in deine Formel.

Zitat:

Original von metriod
Dass die zweitere nicht anwendbar ist, wenn die Koeffizientenfolge auch mal Nullen hat wird garnicht erwähnt unglücklich

Das sollte offensichtlich sein, denn eine Null im Nenner macht sich nicht sonderlich gut.

Zitat:

Original von metriod
Du meinst, dass Grenzwerte addiert/subtrahiert, multipliziert/dividiert werden können?

Ja.

Zitat:

Original von metriod
$\begin{eqnarray*} = \lim_{n \to \infty} \frac{n+1}{ n } \end{eqnarray*}$ bis dahin wars hoffentlich richtig?

Ja, abgesehen davon dass man eben $\begin{eqnarray*} \limsup \end{eqnarray*}$ schreiben müsste.
Und diesen Grenzwert kann man nun wie in der Schule mithilfe der Grenzwertsätze berechnen:
$\begin{eqnarray*} = \lim_{n \to \infty} \frac{n+1}{ n }=\lim_{n\to\infty}\frac{n}{n\left(1+\frac{1}{n}\right)}=? \end{eqnarray*}$

Zitat:

Original von metriod
Muss man tatsächlich nur den Nenner betrachten?
Im Repetitorium steht aus a (die Reihe konvergiert nur im Entwicklungspunkt) folgt, wenn $\begin{eqnarray*} \lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{|a_n|}=\infty \end{eqnarray*}$ , dann ist der Radius = 0. (mag trivial sein, ich wollte es nur erwähnt haben, weil es auch im Buch explizit erwähnt wurde)
Dass dies lediglich für die Betrachtung des Nenners gilt wird mit keinem Wort erwähnt, dass kanns doch nicht sein? :/

Du musst einfach die Formel $\begin{eqnarray*} \frac{1}{\limsup_{n\to\infty}\sqrt[n]{|a_n|}} \end{eqnarray*}$ ausrechnen. Und natürlich sollte klar sein, dass der wichtige Teil hier die Betrachtung des Nenners ist. Und wenn man den Nenner beliebig gross machen kann weisst du sicher schon aus der Schule, dass der Grenzwert des gesamten Bruches dann Null ist.
Aber auch hier: Das wichtige ist, dass die Aussage von deinem Buch dann nur stimmt, falls $\begin{eqnarray*} \sqrt[n]{|a_n|} \end{eqnarray*}$ überhaupt konvergiert, ansonsten macht der Limes ja garkeinen Sinn.

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