Lösung einer inhomogenen DGL

12.12.2010, 20:12

El Rey

Lösung einer inhomogenen DGL

Meine Frage:
hallo liebes forum Augenzwinkern

ich habe hier folgende aufgabe wo ich nich klar komme

aufg: löse die folgende inhomogene DGL

x'' + 3x' + 2x = -4e^t

Meine Ideen:
die homogene habe ich bereitsgelöst ich habe da

lamda1 = 1
lamda2 = 2

und jez haben wir im skript sowas stehen was ich nich verstehe

y(t) := xa(t) - xb(t) dann steht dabei

außerdem hab ich schon versucht mit folgendem ansatz zu arbeiten

x = c * e^t

dann bin auf das hier gekommen:

x = c * e^t

x' = c' * e^t + c * e^t = e^t (c' + c)

x'' = e^t ( c'' + c') + e^t (c' + c) = e^t ( c + 2c' + c'' )

hoffe mal ich hab mich nich verableitet

und dann muss ich das jeweils in meine ursprungs DGL einsetzen ??

aber falls das so is wie mach ich dann weiter ??

die differenz 2er beliebiger inhomogenen Lsgen ist wieder eine homogene Lsg

das is mir i-wie nich einleuchtend und ich weis auch nich wie mir das hier helfen soll

bitte schnelle hilfeeeeeeeeee smile

12.12.2010, 20:14

El Rey

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ohh da is was durcheinander gekommen Big Laugh

und jez haben wir im skript sowas stehen was ich nich verstehe

y(t) := xa(t) - xb(t) dann steht dabei

die differenz 2er beliebiger inhomogenen Lsgen ist wieder eine homogene Lsg

das is mir i-wie nich einleuchtend und ich weis auch nich wie mir das hier helfen soll

das gehört zusammen Big Laugh

12.12.2010, 20:32

alex2007

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Lies dir mal durch, was "Variation der Konstanten" bedeutet, womit man inhomogene Probleme löst. Schreib dir außerdem die homogenen Lösungen der DGL ordentlich auf und dann benutze dieses Prinzip.

12.12.2010, 20:35

El Rey

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kann man denn das was ich bisher gemacht hab verwenden ??

12.12.2010, 20:38

alex2007

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Zitat:

Original von El Rey
kann man denn das was ich bisher gemacht hab verwenden ??

http://de.wikipedia.org/wiki/Variation_der_Konstanten

Lesen und verstehen was das soll. Ansonsten nochmal woanders darüber lesen. Dann konkrete Fragen stellen.

Wenn du deine homogenen Lösungen richtig berechnet hast, dann kannst du die verwenden, ja.

12.12.2010, 20:41

El Rey

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kann man das nich mit diesem ansatz machen ??

x = c * e^t ???

12.12.2010, 21:17

alex2007

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Also um dir mal auf die Sprünge zu helfen, was die Lösung von inhomogenen linearen DGL 2. Ordnung angeht.

Eine inhomogene lineare DGL entspricht einer Gleichung der Form:

$\begin{eqnarray*} y'' + Ay' + By = s(x) \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} s(x) \neq 0 \end{eqnarray*}$

Die allgemeine Lösung der DGL errechnet sich mit:

$\begin{eqnarray*} y= y_{h}(x) + y_{p}(x) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} y_{h}(x) \end{eqnarray*}$ ... allgemeine Lsg. der homgenen DGL
$\begin{eqnarray*} y_{p}(x) \end{eqnarray*}$ ... partikuläre Lsg. der inhomogenen DGL

Es gibt dafür 2 Lösungswege:
- Variation der Konstanten
- spezielle Lösungsansätze

In jedem Falle brauche ich erstmal die homogene LSG.

Heißt ich setzte mein Störglied $\begin{eqnarray*} s(x)=0 \Rightarrow y''+Ay' + By=0 \end{eqnarray*}$ und berechne mit Hilfe der charakteristischen Polynoms $\begin{eqnarray*} \lambda^2+a\lambda+b=0 \end{eqnarray*}$ die Eigenwerte $\begin{eqnarray*} \lambda \end{eqnarray*}$

Jetzt kommt es darauf an, wie die unterschiedlichen Eigenwerte ausfallen (ist in jedem Nachschlagewerk fr höhere Mathematik nachzulesen, welcher Ansatz als Lösung folgt). In deinem Fall ist $\begin{eqnarray*} \lambda_{1} \neq \lambda_{2} \end{eqnarray*}$ , daraus folgt: $\begin{eqnarray*} y_{h}=C_{1}e^{\lambda_{1}x} + C_{2}e^{\lambda_{2}x} \end{eqnarray*}$

Und jetzt kommen die 2 Möglichkeiten ins Spiel. Bei VdK verwende ich einfach statt C eine Funktion C(x) und setze meine homgene Lösung in den jeweiligen Ableitungen ind die ausgängliche DGL ein. Ansonsten wenn mein s(x) eine spezielle Form hat, dann ist es schneller einen Ansatz zu verwenden (ebenfalls n geeignetes Nachschlagewerk sinnvoll).

In deinem Fall:

$\begin{eqnarray*} s(x) = Ae^{\alpha x} \end{eqnarray*}$

Jetzt brauchst noch die Bedingung, wie sich deine Eigenwerte zu deinem "alpha" verhalten. Konkret in deinem Fall:

$\begin{eqnarray*} \alpha= \lambda_{1} \neq \lambda_{2} \Rightarrow y_{p}=A_{1}xe^{\alpha x} \end{eqnarray*}$

Dieses stellt deinen Lösungsansatz dar. Den Leitest du ab und setzt das in deine Ausgangs DGL ein. Dann bekommste deine Konstante (hier A_1) raus. Dann hast du deine partikuläre lösung und kannst deine allgemeine Lösung berechnen.

Jetzt bist du dran loszulegen!

12.12.2010, 21:34

alex2007

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Also ums auf den Punkt zu bringen, dein Ansatz ist falsch.

Der richtige Ansatz lautet in deinem Fall: $\begin{eqnarray*} x_{p}=Cte^t \end{eqnarray*}$

Das 2mal ableiten und in die DGL einsetzen. So jetzt will ich aber was von dir sehen!

12.12.2010, 21:50

El Rey

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warum muss es x = c * t * e^t heißen ??

und nicht x = c * e^t ??

12.12.2010, 21:58

El Rey

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also das hier sind meine ableitungen hoffe mal hab mich nich verableitet Big Laugh

x = ct * e^t
x' = (c + ct) * e^t
x'' = (2c + ct) * e^t

die setze ich jez in die dgl ein

aber wonach soll ich dann umformen ??

12.12.2010, 22:04

alex2007

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Hast du keine Formelsammlung für Mathematik?
böse

Also pass auf:

Deine Störtgleid hat die Form: $\begin{eqnarray*} s(t)=Ae^{\alpha t} \end{eqnarray*}$

jetzt gelten folgende Ansätze:

für $\begin{eqnarray*} \alpha \neq \lambda_{1}\ ,\lambda_{2}: x_{p}=A_{1}e^{\alpha t} \end{eqnarray*}$

für $\begin{eqnarray*} \alpha = \lambda_{1} \neq\lambda_{2}: x_{p}=A_{1}te^{\alpha t} \end{eqnarray*}$

für $\begin{eqnarray*} \alpha = \lambda_{1}=\lambda_{2}: x_{p}=A_{1}t^2e^{\alpha t} \end{eqnarray*}$

Dein Störglied heißt explizit: $\begin{eqnarray*} s(t)=-4e^t \end{eqnarray*}$ , das heißt bei dir ist $\begin{eqnarray*} \alpha=1= \lambda_{1} \neq\lambda_{2} \end{eqnarray*}$ .

Du hast das jetzt eben C genannt und nicht A_1, was aber Schnuppe ist.
Ok?

12.12.2010, 22:07

alex2007

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Zitat:

Original von El Rey
also das hier sind meine ableitungen hoffe mal hab mich nich verableitet Big Laugh

x = ct * e^t
x' = (c + ct) * e^t
x'' = (2c + ct) * e^t

die setze ich jez in die dgl ein

aber wonach soll ich dann umformen ??

Ja das setzt du ein und berechnest dein C. Das setzt du in deinen Ansatz ein, mit welchem du deine partikuläre lösung bekommst. Dann kannste aus homogener und partikulärer lösung, deine allgemeine lösung bestimmen. smile

PS: vergiss die Indizes für partikulär und homogen nicht, damit du nicht durcheinander kommst.

12.12.2010, 22:12

El Rey

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also muss ich eig x = -4t * e^t ableiten ?? und in die DGL einsetzen ??

aber wenn ich dann in die DGL eingesetzt hab wonach form ich dann um ??

ich weis i-wie nich wie das ergebnis aussehen soll
kannste mir das vllt erklärn ??

12.12.2010, 22:27

alex2007

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Zitat:

Original von El Rey
also muss ich eig x = -4t * e^t ableiten ?? und in die DGL einsetzen ??

aber wenn ich dann in die DGL eingesetzt hab wonach form ich dann um ??

ich weis i-wie nich wie das ergebnis aussehen soll
kannste mir das vllt erklärn ??

nein! lies doch mal, was ich dir schreibe. du hast die richtigen ableitungen gebildet. diese setzt du in deine DGL ein.

da stehen links deine ganzen eingestzten sachen und recht vom = steht -4t*e^t. das stellst du nach deiner konstanten um, die ich A_1 nannte und du C genannt hast. Wenn du diese berechnet hast, setzt du die in deinen Lösungsansatz für das x_p ein. du hast jetzt die partikuläre LSG. aus der Summe von x_p und x_h ergibt sich deine allgemeine LSG. FERTIG.

Ist das jetzt klar? böse

12.12.2010, 22:43

El Rey

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sorry wenn ich schwer von begriff bin aber trotzdem danke für deine hilfe

12.12.2010, 22:47

alex2007

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Zitat:

Original von El Rey
sorry wenn ich schwer von begriff bin aber trotzdem danke für deine hilfe

Kein Problem. Schreib dann mal deinen Lösungsweg auf...am besten mit Latex, dann kannste nochmal fragen, wenn irgendwas unklar sein sollte. smile

12.12.2010, 22:48

El Rey

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eine frage hätt ich noch Augenzwinkern

und zwar hab ich für die homogene Lsg lamda1 = 1 und lamda2 = 2

wie soll ich das als allgemeine Lsg formulieren ??

12.12.2010, 22:50

El Rey

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also ich meine als allgemeine Lsg für die homogene DGL

12.12.2010, 22:56

alex2007

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Zitat:

Original von El Rey
eine frage hätt ich noch Augenzwinkern

und zwar hab ich für die homogene Lsg lamda1 = 1 und lamda2 = 2

wie soll ich das als allgemeine Lsg formulieren ??

Das sind die Eigenwerte lambda zu deiner homogenen Lösung. Lambda ist nur ein Eigenwert, eine Lösung des Charakteristischen polynoms zur homogenen DGL. Nicht jedoch die homogene Lösung selbst. Deine homgene Lösung berechnet sich so, wie ich es in meinem Post zur Berechnung von inhomogenen linearen DGL 2. Ordnung geschrieben habe!
Einfach mal LESEN Big Laugh

Also was ist deine homogene Lösung x_h???

Und verwende mal bitte Latex Freude

12.12.2010, 23:03

El Rey

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also ich bin bisher soweit

$\begin{eqnarray*} x_{h} = C_{1}e^{t} \cdot C_{2}e^{2t} \end{eqnarray*}$

aber ich weis nich wie ich die C berechnen soll

12.12.2010, 23:12

alex2007

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Zitat:

Original von El Rey
also ich bin bisher soweit

$\begin{eqnarray*} x_{h} = C_{1}e^{t} \cdot C_{2}e^{2t} \end{eqnarray*}$

Das C hier brauchst du nicht berechnen, da du keine Randwerte oder Anfangswerte gegeben hast. es gibt also keine spezielle Lösung. sondern nur die a"allgemeine homogene Lösung".

Jetzt brauchste also nur noch dein x_p. das berechnest du wie gesagt mit den Ableitungen, die du in die DGL einsetzt. Dann berechnest du das C und setzt es in deinen Lösungsansatz für x_p ein.

PS Big Laugh

as C von x_p dort, hat mit dem C aus x_h nichts zu tun. Deswegen wäre ne andere Variable vielleicht "schlauer" um Verwechslungen auszuschließen.

Alles klar?

12.12.2010, 23:21

El Rey

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also is mein C in xh jez einfach e^3t ))

12.12.2010, 23:38

alex2007

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Ich rechne jetzt mal selber. du machst mich ganz rasend junge. Big Laugh

Ich schreib dann mal rein, was rauskommen muss

13.12.2010, 00:01

alex2007

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nee das C in x_h ist beliebig. Es ist irgendeine konstante. die du zur berechnung von x_p nicht benötigst.

13.12.2010, 00:02

alex2007

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deine lambda sind schonmal falsch. daraus ergibt sich auch ein anderer Ansatz für x_p, weil die lambda ne andere beziehung zu alpha haben.

prüf das nochmal nach.

13.12.2010, 00:21

alex2007

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Eh du mir noch 20 Fragen stellen musst. Hier mal der genaue Fahrplan deiner Aufgabe. Berechnen musst du es trotzdem SELBST. Ist übrigens ne recht einfache DGL, da sich am Ende alles total vereinfacht.

$\begin{eqnarray*} x''+3x'+2x= -4e^t \end{eqnarray*}$ (*)

homogene Lösung:

$\begin{eqnarray*} x''+3x'+2x= 0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \Rightarrow \lambda^2 +3\lambda+2=0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \Rightarrow \lambda_{1}=-2 \, ,\lambda _{2}=-1 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \underline {x_{h}=C_{1}e^{-2t}+C_{2}e^{-t}} \end{eqnarray*}$

partikuläre Lösung:

$\begin{eqnarray*} s(x)=-4e^t = Ae^{\alpha x} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \alpha =1 \neq \lambda1\ ,\lambda2 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \Rightarrow x_{p}=Be^t \end{eqnarray*}$ (**)

$\begin{eqnarray*} \Rightarrow x''_{p}=x'_{p}=x_{p}=Be^t \end{eqnarray*}$ (***)

(***) in (*) einsetzen und nach B umstellen.

B in (**) einsetzen liefert Lösung für (**)

Dann allgemeine Lösung als Summe aus homogener und partikulärer Lösung berechenen. Fertig smile

PS: nicht das du auf dumme ideen kommst. die sterne sind nur für dich, damit du weist, was du wo einsetzen sollst. die haben nichts mit der rechnung an sich zu tun. also lass du die sterne beim aufschreiben bitte weg. Augenzwinkern

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