Extremwertaufgaben mit Nebenbedingung

12.12.2010, 20:23	Caaaaaarina.	Auf diesen Beitrag antworten »
Extremwertaufgaben mit Nebenbedingung Meine Frage: Also: ein Auslandspäcken in Rollenform muss die Mindestmaße Länge 15 cm haben und den Durchmesser von 5cm. die Höchstmaße: Länge und zweifacher Durchmesser dürfen insgesamt 104cm, wobei die Länge nicht mehr als 90cm betragen darf. Jetzt soll ich die Maße wählen die den Rauminhalt maximal machen. Meine Ideen: Als Hauptbedingung habe ich V = 2 pii r^2 *h dachte an Nebenbedinung 104 = 4r + h = 104cm mein Problem ist einfach dass ich nicht weiss wie ich 90 cm Länge maximal und 5cm Durchmesser minimal eingrenzen kann, mit meiner Nebenbedingung.
12.12.2010, 20:59	Maschba	Auf diesen Beitrag antworten »
Hey Ca..rina, Vorweg: $\begin{eqnarray} V=(d²\pih)/4 \end{eqnarray}$ also $\begin{eqnarray} V=r²\pih \end{eqnarray}$ Die 90 cm Länge maximal und 5 cm Durchmesser minimal musst du nicht in deine Nebenbedingung einbringen. Diese Angaben Definieren lediglich ein Intervall von gültigen r oder h. Also falls du 2 Lösungen bekommen solltest, und eine nicht gütlig ist (z.B. h=100cm) kannst du diese streichen und eine Lösung vorzeigen. Die Nebenbedingung $\begin{eqnarray} 104 = 4r + h \end{eqnarray}$ löst du nach h auf, und setzte sie in V ein. Nun leitest du V nach r ab und setzt nun $\begin{eqnarray} V'(r)=0 \end{eqnarray}$ um die rel. Extremwerte zu bestimmen. Eine Lösung wird sicherlich r=0 sein, aber das liegt nicht in deinem Definitionsbereich, da ja r mindestens 2,5 cm betragen muss. gruß, maschba
12.12.2010, 21:28	caaaaaaarina.	Auf diesen Beitrag antworten »
extremwertaufgabe gut, danke. also mein Rechenweg war dann der hier: erstmal Nebenbedingung nach h umgeformt. $\begin{eqnarray} 104 = 4r +h / -4r<br /> <br /> 104 - 4r = h \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} V = pi r^2 (104 - 4r) <br /> V = 104 pii r^2 - 4 pii r^3 \end{eqnarray}$ als ableitung: $\begin{eqnarray} r( 208 pi - 12 pi r)<br /> r = 0 \end{eqnarray}$ dann $\begin{eqnarray} 0 = 208 pi - 12 pi r <br /> r = 208pi/12pi \end{eqnarray*}$
12.12.2010, 22:28	Maschba	Auf diesen Beitrag antworten »
gut gemacht, pi wird im Latexcode als \pi geschrieben. jetzt nur noch prüfen ob dein $\begin{eqnarray} x=208/12 \end{eqnarray}$ ein maximal oder minimaler extremwert von $\begin{eqnarray} V(r) = 104 \pi r^2 - 4 \pi r^3 \end{eqnarray}$ 1.Möglichkeit: Mithilfe der 2ten Ableitung von V checken ob dein $\begin{eqnarray} r=208/12 \end{eqnarray}$ eine negative oder positive Krümmung hat. (1te Ableitung: Steigung der Kurve; 2te Ableitung: Krümmung der Kurve) 2.Möglichkeit: Du beschreibst $\begin{eqnarray} V(r) \end{eqnarray}$ kurz vor und nach $\begin{eqnarray} r=208/12 \end{eqnarray}$ . Wenn du dir ein Maximum vorstellst müssen die Werte von $\begin{eqnarray} V(r) \end{eqnarray}$ kurz vor und nach deinem Extremwert kleiner sein. Deine gewählten Werte sollten allerdings in der nähe von $\begin{eqnarray} 208/12 \end{eqnarray}$ bleiben, also z.B. $\begin{eqnarray} r=17 \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} r=18 \end{eqnarray}$ . Da es ein relatives Extremum ist und ein zu groß gewählter Wert, zu Verfälschungen führen kann. Wenn sie nun kleiner sind, hast du dein Maximum. Erstere Möglichkeit ist allerdings zu bevorzugen. gut Nacht, maschba

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