Indexverschiebung Summen

12.12.2010, 21:46

refle

Indexverschiebung Summen

Meine Frage:
Kann mir jemand erklären, warum ich das hier machen darf:
$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{j=o}^n \sum\limits_{k=0}^j = \sum\limits_{k=0}^n \sum\limits_{j=k}^n \end{eqnarray*}$

Meine Ideen:
Ich hab leider keinen blassen schimmer.
uns wurde der tipp gegeben:
$\begin{eqnarray*} 0 \leq j \leq n \\\ 0 \leq k \leq j <=> \\ 0 \leq k \leq n \\ k \leq j \leq n \end{eqnarray*}$

das versteh ich ja, aber wie komm ich von da auf die summen?

12.12.2010, 21:53

alex2007

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RE: Indexverschiebung Summen
Sprech mal vor dich hin, was die Summenformeln bedeuten, dann sollte es logisch sein, was das ganze soll. DIe Regel kanste dir dann einfach merken.

links steht:

du bildest die summe von k=0 bis k=j und dann bildest du davon die summe von j=0 bis n. Heißt du hast bei k und j jeweils bei 0 angefangen und summierst letztendlcih bis n

rechts steht:
du bildest die summe von j=k bis j=n und davon dann die summe von k=0 bis k=n.
Heißt du fängst bei j=k und bei k=0 an. Heißt du summeirst jeweils von 0 bis für k und j.

Scheint das selbe smile

12.12.2010, 21:58

refle

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hmm also ich vesteh nicht ganz, wie du diese summen wörtlich umschreibst. Ich hab immer gedacht man muss sagen: "ich lasse j von 0 bis n laufen und dann bilde ich für jedes j die summe von k=0 bis k=j. dann summier ich alles auf."

12.12.2010, 22:22

alex2007

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RE: Indexverschiebung Summen
Das stimmt so irgendwie nicht.

Ich versuchs dir so zu erklären, wie es mir persönlich verständlich ist:

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{j=o}^n a_{j} \end{eqnarray*}$ bedeutet doch, ich bilde die Summe aller a_j von j=0 bis j=n.

heißt rein rechnerich: $\begin{eqnarray*} a_{0}+a_{1}+...+a_{n} \end{eqnarray*}$ sollte soweit klar sein.

So wenn ich nun aber folgendes habe $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{j=o}^n \sum\limits_{k=o}^n a_{k}a_{j} \end{eqnarray*}$ , dann mussich das wie auch Terme in der Mathematik von "innen nach außen" betrachten.

heit rechnerich: $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{j=o}^n (a_{0}a_{j} +a_{1}a_{j} +...+a_{n}a_{j}) \end{eqnarray*}$

Sollte auch klar sein, was ich hier gemacht habe. Ich habe die innere Summe aufgelöst mit der Formel, wie man sie berechnet.

Und jetzt sollte dir des Rätselslösung klar sein, wenn ich die 2. Summe auch auflösen würde. Dann müsstest du als für jedes j diese Summe (die innere) als einzelnen Summanden sehen.

$\begin{eqnarray*} \sum\limits \sum\limits \end{eqnarray*}$ bedeutet als Summe von der Summe...

verständlich?

14.12.2010, 00:22

refle

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danke schonmal für die ausführliche antwort. ich hab das jetzt auch so einigermaßen verstanden, aber wenn ich das jetzt mal so ausformuliert hinschreibe, komm ich auf folgendes:

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{j=o}^n \sum\limits_{k=0}^j b_j a_k = \sum\limits_{j=o}^n \cdot (b_j a_0 + b_j a_1 + ...) = (b_0+a_0)+(b_1 a_0+b_1 a_1)+(b_2 a_0+ b_2 a_1+ b_2 a_3)+... \end{eqnarray*}$
und
$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=o}^n \sum\limits_{j=k}^n b_j a_k = \sum\limits_{k=o}^n (a_k b_k + a_k b_{k+1} + ...)= (a_0 b_0 + a_0 b_1 + a_0 b_2 + ...)+(a_1 b_0+a_1 b_1 +...)+(a_2 b_0 + ...)+ ... \end{eqnarray*}$

wo ist denn da noch mein fehler??

14.12.2010, 02:33

alex2007

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Zitat:

wo ist denn da noch mein fehler??

Allgemein in der Auflösung der Summe.

es muss heißen:

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{j=o}^n (b_j a_0 + b_j a_1 + ...+b_j a_j) = (b_0 a_0) +( b_1 a_0 + b_1 a_1) + (...) + (b_n a_0 +...+b_n a_n) \end{eqnarray*}$

Siehst du was ich mache?

Ich nehme die Summe in Klammern von 0 bis n für j. du musst für jedes j einen summanden annehmen, dabei aber beachten, das für n=4 beispielsweise aber eben die ganze summe von j=0 bis J=4 gebildet werden muss. weil du ja quasi ne summe summierst. deine einzelnen folgenglieder sind also schon einzelne summen.

14.12.2010, 02:52

alex2007

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Ich sehe gerade deine Erste Summenauflösung ist somit fast richtig (beim ersten term steht nur n plus, was weg muss). Alerdings ergibt der erste Umformungsschritt deiner 2. Auflösung (nach dem und) keinen echten sinn. Schau dir das nochmal genau an.

14.12.2010, 09:34

René Gruber

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Gelegentlich hilft es, die Sache mal aus einer anderen Perspektive zu betrachten: Es ist

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{j=0}^n \sum\limits_{k=0}^j = \sum\limits_{(j,k)\in G} \end{eqnarray*}$

wobei $\begin{eqnarray*} G \end{eqnarray*}$ eine Gitterpuktmenge in der $\begin{eqnarray*} (j,k) \end{eqnarray*}$ -Ebene ist. Skizzieren wir doch mal diese Gitterpunktmenge, sagen wir für $\begin{eqnarray*} n=5 \end{eqnarray*}$ :

[attach]17157[/attach]

dabei verläuft die $\begin{eqnarray*} j \end{eqnarray*}$ -Achse horizontal, die $\begin{eqnarray*} k \end{eqnarray*}$ -Achse vertikal.

Nun kann man diese Gitterpunktmenge auf zweierlei Arten indizieren:

1) Man schaut sich nacheinander Parallelen zur $\begin{eqnarray*} k \end{eqnarray*}$ -Achse an, also $\begin{eqnarray*} j=0, j=1, \ldots \end{eqnarray*}$ und erfasst die $\begin{eqnarray*} k \end{eqnarray*}$ -Koordinaten der Punkte, die auf diesen Parallelen liegen. Das sind für festes $\begin{eqnarray*} j \end{eqnarray*}$ hier gerade die $\begin{eqnarray*} k \end{eqnarray*}$ -Werte $\begin{eqnarray*} 0,1,\ldots,j \end{eqnarray*}$ .

2) Man schaut sich nacheinander Parallelen zur $\begin{eqnarray*} j \end{eqnarray*}$ -Achse an, also $\begin{eqnarray*} k=0, k=1, \ldots \end{eqnarray*}$ und erfasst die $\begin{eqnarray*} j \end{eqnarray*}$ -Koordinaten der Punkte, die auf diesen Parallelen liegen. Das sind für festes $\begin{eqnarray*} k \end{eqnarray*}$ hier gerade die $\begin{eqnarray*} j \end{eqnarray*}$ -Werte $\begin{eqnarray*} k,k+1,\ldots,n \end{eqnarray*}$ .

Vielleicht hilft diese Erklärung eher anschaulich geprägten Menschen, die Sache mit der obigen Summenvertauschung zu verstehen. Wink

20.12.2010, 21:46

refle

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zunächst mal danke für die antworten. Ich denke ich kann das jetzt so anschaulich ziemlich gut nachvollziehen, aber ich komm trotzdem nicht dahinter, warum mein: erster Umformungsschritt deiner 2. Auflösung (nach dem und) keinen echten sinn ergibt...

Vielleicht kann mir das nochmal jemand richtig ausformulieren. Ich sehe meinen Fehler leider nicht.

21.12.2010, 15:46

alex2007

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Zitat:

Original von refle
zunächst mal danke für die antworten. Ich denke ich kann das jetzt so anschaulich ziemlich gut nachvollziehen, aber ich komm trotzdem nicht dahinter, warum mein: erster Umformungsschritt deiner 2. Auflösung (nach dem und) keinen echten sinn ergibt...

Vielleicht kann mir das nochmal jemand richtig ausformulieren. Ich sehe meinen Fehler leider nicht.

Deine Auflösun ist nach genauem durchsehen doch richtig. Und wenn du dir die Summe nochmal genau ansiehst, dann ergibt sie ach das selbe wie die auflösung der anderen summe. einziger unterschied, dass die elemente anders angeordnet sind, was aber in einer summ ja bekanntlich keinen unterschied macht. siehst du das? da ist also kein fehler. smile

21.12.2010, 22:23

refle

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hmmm aber wie bekomm ich denn in der 1. summenschreibweise ein $\begin{eqnarray*} a_2 b_0 \end{eqnarray*}$ ?? Die kommt ja in der 2. summenschreibweise vor...

22.12.2010, 00:05

alex2007

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Zitat:

Original von refle
hmmm aber wie bekomm ich denn in der 1. summenschreibweise ein $\begin{eqnarray*} a_2 b_0 \end{eqnarray*}$ ?? Die kommt ja in der 2. summenschreibweise vor...

das ist in der tat ein fehler. aber auch der einzige. du musst natürlich immer bei k für beide anfangen. und wenn k=2, dann heißt das erste glied natürlich $\begin{eqnarray*} a_2 b_2 \end{eqnarray*}$ das nächste $\begin{eqnarray*} a_2 b_3 \end{eqnarray*}$ und so weiter

deine formel ist ja $\begin{eqnarray*} a_k b_k, a_k b_{k+1}... \end{eqnarray*}$

das heißt, du musst natürlich mit dem gleichen indexstarten für das jeweilige glied

22.12.2010, 02:24

alex2007

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Es gilt also:

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=o}^n \sum\limits_{j=k}^n b_j a_k =\sum\limits_{k=o}^n (b_k a_k + b_{k+1} a_k + ...+b_n a_k) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} = (b_0 a_0+ b_1 a_0 +...+ b_n a_0)+ (b_1 a_1+ b_2 a_1 +...+ b_n a_1)+...+(b_n a_n) \end{eqnarray*}$ (*)

Oder:

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{j=o}^n \sum\limits_{k=0}^j b_j a_k = \sum\limits_{j=o}^n (b_j a_0 + b_j a_1 + ...+b_j a_j) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} = (b_0 a_0) + (b_1 a_0 + b_1 a_1) +...+(b_n a_0+...+b_n a_n) \end{eqnarray*}$ (**)

Und jetzt sieht man dass gilt:

(*) = (**)

PS: Die Klammern kannste ja wegen den ganzen "+" weglassen, dann sollte es deutlich sein.

Jetzt klar?

22.12.2010, 08:34

refle

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ohja. vielen vielen dank smile

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