Grenzwert der Folge a(n)=3n/n!

12.12.2010, 22:36

Carnivora

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Grenzwert der Folge a(n)=3n/n!

Meine Frage:
Meine Aufgabe ist, den Grenzwert der Folge
$\begin{eqnarray*} a_{n} = \frac{3^{n}}{n!} \end{eqnarray*}$ zu berechnen:
(a) Zeigen sie, dass $\begin{eqnarray*} a_{n} \end{eqnarray*}$ monoton für $\begin{eqnarray*} n\geq 2 \end{eqnarray*}$ und beschränkt ist
(b) berechnen sie für jedes $\begin{eqnarray*} m\in \mathbb N ein N\in \mathbb N \end{eqnarray*}$ , sodass $\begin{eqnarray*} a_{N} <\frac{3^{n} }{n!}*\frac{1}{m} \end{eqnarray*}$
(c) bestimmen sie durch diese aussagen den grenzwert

Meine Ideen:
bei a) war meine idee $\begin{eqnarray*} a_{n+1}-a_{n} \end{eqnarray*}$ zu rechnen und rausgekommen ist $\begin{eqnarray*} \frac{3^{n+1} -3^{n} }{(n-1)*(n^{2}-n) } \geq 0 \end{eqnarray*}$ sie ist also monoton steigend

bei b)hab ich es einfach so umgestellt, dass $\begin{eqnarray*} a_{N} *2m<9 \end{eqnarray*}$ rauskommt

bei c)folglich müsste der grenzwert zwischen 9/2 und 9 liegen oder?

12.12.2010, 23:05

lgrizu

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RE: Grenzwert der Folge a(n)=3n/n!
Meines Erachtens ist die Folge monoton fallend.

Versuch es mal mit folgendem:

Betrachte $\begin{eqnarray*} \frac{a_n}{a_{n+1}} \end{eqnarray*}$ und schaue, ob $\begin{eqnarray*} \frac{a_n}{a_{n+1}}>1 \Rightarrow a_n>a_{n+1} \end{eqnarray*}$ oder ob $\begin{eqnarray*} \frac{a_n}{a_{n+1}}<1 \Rightarrow a_n<a_{n+1} \end{eqnarray*}$ .

Die Argumentation, warum der Grenzwert zwischen 4,5 und 9 liegen soll kann ich nicht nachvollziehen.

12.12.2010, 23:12

Carnivora

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hab ich auch erst gedacht, da wenn ich für n=2,3,4,5... setzte die werte immer kleiner werden...ich hab halt einen widerspruch bekommen aber wenn ich nach deiner betrachtung gehe bekomme ich $\begin{eqnarray*} a_{n} \geq a_{n+1} \end{eqnarray*}$

12.12.2010, 23:16

Carnivora

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c weiß ich halt nciht genau, wie ich von den 2 aussagen auf den grenzwert kommen soll, da für mich schon nach a) klar ist, dass der GW 0 ist.

12.12.2010, 23:25

lgrizu

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Zitat:

Original von Carnivora

bei a) war meine idee $\begin{eqnarray*} a_{n+1}-a_{n} \end{eqnarray*}$ zu rechnen und rausgekommen ist $\begin{eqnarray*} \frac{3^{n+1} -3^{n} }{(n-1)*(n^{2}-n) } \geq 0 \end{eqnarray*}$

Wie kommst du denn für a) hier drauf?

Hast du gezeigt, dass die Funktion nach unten beschränkt ist?

Durch welche Zahl ist sie nach unten beschränkt?

Wie sieht dein Aufgabe b) aus?

Das benötigen wir, um c) zu lösen.

12.12.2010, 23:47

Carnivora

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für a) mit umstellen und kürzen (bin mir bei den ! nicht sicher ob es richtig ist)
$\begin{eqnarray*} <br /> \frac{3^{n+1} }{(n+1)!}-\frac{3^{n} }{n!} <br /> <br /> \frac{3^{(n+1)}*n!-3^{n}*(n+1)! }{(n+1)!*n!} <br /> <br /> \frac{3^{n+1}-3^{n} }{(n-1)*(n^{2}-n) } \end{eqnarray*}$

und da das ergebnis größer null ist monoton steigend

und das sie eigentlich nach unten beschränkt ist hab ich durch stupides einsetzen herausgefunden also, da n >=2
für n=2------------4,5
für n=3------------4,5
für n=4------------3,375
für n=5------------2,025

bei b)
$\begin{eqnarray*} a_{N} <\frac{3^{3} }{3!} *\frac{1}{m} <br /> <br /> a_{N} <\frac{9 }{2} *\frac{1}{m} <br /> <br /> a_{N} <\frac{9}{2m} <br /> <br /> a_{N}*2m <9 \end{eqnarray*}$

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13.12.2010, 00:00

lgrizu

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Zitat:

Original von Carnivora
für a) mit umstellen und kürzen (bin mir bei den ! nicht sicher ob es richtig ist)
$\begin{eqnarray*} <br /> \frac{3^{n+1} }{(n+1)!}-\frac{3^{n} }{n!} <br /> <br /> \frac{3^{(n+1)}*n!-3^{n}*(n+1)! }{(n+1)!*n!} <br /> <br /> \frac{3^{n+1}-3^{n} }{(n-1)*(n^{2}-n) } \end{eqnarray*}$

unglücklich

ich versteh echt nicht, was du hier rechnest und wie du auf den Bruch kommst:

Es ist $\begin{eqnarray*} \frac{3^{n+1}}{(n+1)!}-\frac{3^n}{n!}=\frac{3^n(2-n)}{(n+1)!} \end{eqnarray*}$

Nun ist $\begin{eqnarray*} 3^n>0 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} (n+1)!>0 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} 2-n < 0 \end{eqnarray*}$ für n>2, also ist das Ergebnis negativ.

Zitat:

und das sie eigentlich nach unten beschränkt ist hab ich durch stupides einsetzen herausgefunden also, da n >=2
für n=2------------4,5
für n=3------------4,5
für n=4------------3,375
für n=5------------2,025

Dass die Folge beschränkt ist kann man mit Induktion machen, einfach einsetzen ist kein Beweis, vielleicht wird die Folge ja immer kleiner und geht gegen -unendlich.

Zitat:

Original von Carnivora
bei b)
$\begin{eqnarray*} a_{N} <\frac{3^{3} }{3!} *\frac{1}{m} <br /> <br /> a_{N} <\frac{9 }{2} *\frac{1}{m} <br /> <br /> a_{N} <\frac{9}{2m} <br /> <br /> a_{N}*2m <9 \end{eqnarray*}$

Wie kommst du hier auf die Idee, einfach 3 einzusetzen?

13.12.2010, 00:04

Carnivora

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die drei bei b war in meiner aufgabe so vorgegeben...nicht meine schuld

bei a hab ich einfach gleichnamig gemacht und versucht etwas auszurechen, wiegesagt ! und potenzen sind nicht meine stärke

das einsetzten war nur ein leitfaden für mich welches ergebnis herauskommen könnte

13.12.2010, 00:08

lgrizu

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Okay, bleiben wir aber wirklich erst mal bei a).

Hast du denn jetzt Monotonie raus?

ist es dir plausibel?

...oder wollen wir erst noch mal gemeinsam die Umformungen besprechen?

Dann mach dich mal an die Beschränktheit der Folge, Stichwort, wie gesagt, Induktion.

13.12.2010, 00:19

Carnivora

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ehrlich gesagt verstehe ich das unformen nicht, die schlussfolgerung, dass sie fallend ist ja

bei beschränktheit hab ich es nie mit induktion gemacht, sondern nur
$\begin{eqnarray*} \frac{3^{n} }{n!} <= 4,5 \end{eqnarray*}$
aufgestellt und nach möglichkeit soweit auseinandergeknobbelt, dass man sehen kann, dass es hier die obere schranke ist...das gleiche dann halt auch bei der unteren schranke

13.12.2010, 00:23

Carnivora

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bei induktion fällt mir heit nur soviel ein,
dass n->n+1

$\begin{eqnarray*} <br /> \frac{3^{n+1} }{(n+1)!} \leq 4,5 |*(n+1)!<br /> <br /> 3^{n+1} \leq 4,5* (n+1)!<br /> <br /> und<br /> \frac{3^{n+1} }{(n+1)!} \geq 0 |*(n+1)!<br /> <br /> 3^{n+1}\geq 0<br /> \end{eqnarray*}$

13.12.2010, 00:35

lgrizu

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Da die Folge monoton fallend ist reicht es aus, sie darauf zu prüfen, ob sie nach unten beschränkt ist.

zu zeigen, dass also $\begin{eqnarray*} a_n>0 \end{eqnarray*}$ ist ist der richtige Ansatz.

Der Induktionsanfang ist recht simpel und die Induktion an sich auch nicht besonders Anspruchsvoll.

Dazu lernen wir aber erst einmal, ein wenig mit Fakultäten umgehen.

Was ist 3! ?

Was ist das kgV von n! und (n+1)! ?

Dann kommen wir zu den Umformungen:

$\begin{eqnarray*} \frac{3^{n+1}}{(n+1)!}-\frac{3^n}{n!}=\frac{3^n \cdot 3}{(n+1)\cdot n!}-\frac{3^n(n+1)}{(n+1) \cdot n!}=\frac{3^n \cdot 3 -3^n(n+1)}{(n+1) \cdot n!} \end{eqnarray*}$

Nun kann man das Distributivgesetz anwenden und das ganze vereinfachen.

Du solltest dir wirklich Mühe geben, Brüche richtig umzuformen....

Nun zur Beschränktheit (der IA ist fast schon trivial, der IS ist auch nicht schwer):

Induktionsvorraussetzung:

$\begin{eqnarray*} a_n>0 \end{eqnarray*}$

Induktionsanfang:
n=1
$\begin{eqnarray*} \frac{3}{1}=3>0 \end{eqnarray*}$

Induktionsschluss
$\begin{eqnarray*} \frac{3^{n+1}}{(n+1)!}=\frac{3^n}{n!} \cdot \frac{3}{n+1} \end{eqnarray*}$ .

Nun kann man darauf die Vorraussetzung anwenden und ein wenig argumentieren.

Das ganze hier bewegt sich hart an der Grenze zu einer Komplettlösung......

13.12.2010, 00:43

Carnivora

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$\begin{eqnarray*} \frac{3^{n+1}}{(n+1)!}=\frac{3^n}{n!} \cdot \frac{3}{n+1}<br /> <br /> \frac{3^{n+1} }{n!*(n+1)} >0 \end{eqnarray*}$ und da es sich um eine potenzierung einer positiven zahl und im bruch auch immer um eine positive handelt und durch den Bruch die null nie unterschritten wird ist das ergebnis immer größer als 0

3! ist 1*2*3=6
und das kgV von n! und (n+1)! ist n!

13.12.2010, 00:47

lgrizu

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Nein, dass kgV von (n+1)! und n! ist (n+1)!, denn es ist (n+1)!=(n+1)n!.

Ansonsten okay soweit (bei deiner Argumentation kann man sich auch die Induktion sparen, ich wollte eigentlcih darauf hinaus, dass nach Vorraussetzung $\begin{eqnarray*} \frac{3^n}{n!}>0 \end{eqnarray*}$ ist und $\begin{eqnarray*} \frac{3}{n+1}>0 \end{eqnarray*}$ und damit ist auch das Produkt >0).

Widmen wir uns nun der Aufgabe b).

Shreib die bitte noch mal so auf, wie du sie bekommen hast, mit allen Angeben und Hilfen und deinen Gedanken dazu.

Ich gehe jetzt erst mal schlafen, morgen bin ich nicht da, schaue aber morgen Abend noch mal rein Augenzwinkern

Augenzwinkern

Also, gute Nacht....

13.12.2010, 00:52

Carnivora

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berechenen sie für jedes $\begin{eqnarray*} m\in \mathbb N \end{eqnarray*}$ ein $\begin{eqnarray*} N\in \mathbb N \end{eqnarray*}$ , so dass $\begin{eqnarray*} a_{N}<\frac{3^{3} }{3!} * \frac{1}{m} . \end{eqnarray*}$

Hinweis: n!=1*2*3*4*...*(n-1)*n

13.12.2010, 00:54

lgrizu

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Dann setz für $\begin{eqnarray*} a_N \end{eqnarray*}$ doch mal die Folge ein.....

jetzt geh ich aber wirklich schlafen Augenzwinkern

Augenzwinkern

13.12.2010, 00:57

Carnivora

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das heißt $\begin{eqnarray*} \frac{3^{n} }{n!}<\frac{3^{3} }{3!} *\frac{1}{m} \end{eqnarray*}$ ?

13.12.2010, 21:34

lgrizu

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Wenn wir das n durch N ersetzen stimmt es.

Wie kann man nun das m bestimmen?

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