Rang der Matrix

19.11.2006, 19:42

Sandrine

Rang der Matrix

Hallo ich verstehe ,dass mit dem Rang der Matrix nicht.

\begin{pmatrix} 2 3 3 \\ 0 2 3 \\ 4 0 0 \end{pmatrix}

Welche Rang der Matrix ist das ?

Ich würde sagen Rang A = 1 wegen der einen nicht Nullzeile.

Also nur die zeilen wo keine Null vorkommt.

19.11.2006, 19:51

emc

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Du löst einfach das LGS und wenn da sowas raus kommt:

$\begin{eqnarray*} \begin{vmatrix} 1 & 0 & 0 & zahl\\ 0 & 1 & 0 & zahl\\ 0 & 0 & 1 & zahl \end{vmatrix} \end{eqnarray*}$
Hat das Ganze den Rang 3

Wenn da aber sowas raus kommt:

$\begin{eqnarray*} \begin{vmatrix} 1 & 0 & 0 & zahl\\ 0 & 1 & 0 & zahl\\ 0 & 0 & 0 & zahl \end{vmatrix} \end{eqnarray*}$

Hat das Ding Rang 2

Also je nachdem wie weit du es lösen kannst den Rang hat es dann.

Zitat aus Wikipedia:

Zitat:

Die Anzahl der Zeilenvektoren, die ungleich 0 sind, entspricht dann dem Rang der Matrix.

Hoffe das stimmt alles so Augenzwinkern

19.11.2006, 19:55

vektorraum

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RE: Rang der Matrix
Hi! Du meinst:

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 2 & 3 & 3 \\ 0 & 2 & 3 \\ 4 & 0 & 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Der Rang einer Matrix ist ja der Rang der zugehörigen linearen Abbildung. Bzw. der Zeilenrang ist die Maximalzahl linear unabhängiger Zeilenvektoren der Matrix.
Also - wieviele lineare unabhängige Zeilen hast du hier???
Dazu formst du deine Matrix einfach mal um.
Habs mal schnell nachgerechnet - ich würde sagen, eins stimmt nicht - deine Begründung finde ich auch etwas seltsam...

19.11.2006, 21:03

Sandrine

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Hi

2 3 3

0 3 3

0 0 0

wieso stimmt jetzt 1 nicht , habe die matrix in die obere Dreiecksform umgewandelt.
also die dritte Gl mal 2 - die erste

19.11.2006, 21:06

vektorraum

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@Sandrine: Um welche Matrix geht es denn nun, um diejenige von oben oder die unten steht??? Benutze bitte den Formeleditor für deine Matrix... Für die obere stimmt 1 nicht!

19.11.2006, 21:20

Sandrine

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es handelt sich um die obere Matrix , allerdings funktioniert das mit dem Formeleditor nicht.

19.11.2006, 21:31

Sandrine

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Neues Bsp
10 0 -70 50
-8 -1 56 -39
-16 -2 112 -78

die Rechten Zahlen sind die der erweiterten Koeffizienten matrix
Die Lösung habe ich warum ,ist hier der Rang 2, wenn bei vielen Bsp , es nicht beachtet wird ,wenn es eine Null in der Zeile gibt.
Der Rang ist ja waagerecht.
Was ich überhaupt nicht verstehe,ist warum die erweiterte Koeffizienten Matrix auch 2 ist . Kann mir das bitte jemand erklären?

19.11.2006, 21:35

Sandrine

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edit hatte es nicht umgeformt

19.11.2006, 23:42

vektorraum

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Also, nochmal ganz in Ruhe und wir einigen uns jetzt auf ein Beispiel, ok!
Ich wähle meine Matrix $\begin{eqnarray*} M \end{eqnarray*}$ mit

$\begin{eqnarray*} M=\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 & 5\\ 2 & 3 & 4 & 5 & 6 \\ 3 & 4 & 5 & 6 & 7 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Jetzt versuchen wir die Matrix so umzuformen, bis wir den Rang fast ablesen können. D.h. wir subtrahieren zunächst die zweite von der dritten Zeile und dann die erste von der zweiten Zeile (selbst nachrechnen) und wir erhalten:

$\begin{eqnarray*} M=\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 & 5\\ 1 & 1 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 & 1 & 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Dann wird die zweite Zeile von der dritten subtrahiert und offensichtlich sind dann noch zwei linear unabhängige Zeilen übrig:

$\begin{eqnarray*} M=\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 & 5\\ 1 & 1 & 1 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

D.h. unsere Matrix $\begin{eqnarray*} M \end{eqnarray*}$ hat den Rang $\begin{eqnarray*} \operatorname{rk}=2 \end{eqnarray*}$ .

Die erste Matrix, die du oben angegeben hast, kannst du auch so umformen, und erhälst irgendwann die folgende Gestalt:

$\begin{eqnarray*} M=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Offensichtlich sind die drei Zeilen- oder Spaltenvektoren linear unabhängig, also ist der Rang 3!

D.h du suchst immer nur die Maximalzahl linear unabhängiger Zeilen oder Spalten. Wenn ihr es schon bewiesen habt müsstest du ja wissen, dass der Spalten- und Zeilenrand die Dimension der von den Spalten- bzw. Zeilenvektoren aufgespannte Raum ist.
Ist das jetzt klar geworden???

20.11.2006, 18:12

Sandrine

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ja das habe ich jetzt verstanden danke

03.01.2007, 16:18

MarkusEL

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$\begin{eqnarray*} M=\begin{pmatrix} 1 & 2 & -1 & -1 & 1 \\ 2 & 3 & -1 & -1 & 2 \\ 1 & 0 & 1 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & -1 & -1 & 0 \\ 1 & 1 & 0 & 0 & 1\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Ich bekomme für diese Matrix den Rang 3 heraus...stimmt das?

Nach Umformung bestehen die letzten beiden Reihen nur noch aus 0en...

03.01.2007, 20:20

vektorraum

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Hi!

Habe es mal durchgerechnen lassen von Mathematica und da wird mir als Rang 2 angegeben... Rechne nochmal nach oder poste mal deine einzelnden Schritte!

09.01.2007, 11:59

MarkusEL

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Nochmal nachgerechet erhalte ich immernoch den Rang 3

Nach Umformung sieht meine Matrix wie folgt aus

$\begin{eqnarray*} M=\begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 3 & 5 & 0 & 0 & 3 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ -1 & 0 & -1 & -1 & -1 \\ 1 & 1 & 0 & 0 & 1\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Meine einzelnen Schritte:

1. 5. Zeile von der 4. subtrahiert
2. 4. Zeile zur 3. addiert
3. 5. Zeile *(-2) und zur ersten addiert

Damit fallen dann 2 Zeilen weg,welche linear abhängig voneinander sind und 3 Zeilen, welche linear unabhängig voneinander sind bleiben über!

10.01.2007, 23:11

vektorraum

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Hi!

Ich habe jetzt doch mal per Hand nachgerechnet und komme auch auf Rang 2 - genauso wie Mathematica! Also hast du nicht geschickt umgeformt. Nach deinem ersten Schritt kann man nämlich schon eine Zeile eliminieren, d.h Rang ist mindestens vier. Dann kannst du die vierte Zeile geeignet zur ersten, zweiten und dritten Zeile addieren oder subtrahieren und dann steht die Lösung quasi schon da.
Problem bei großen Matrizen ist nur, dass man nicht so schnell sieht, welche Vektoren linear unabhängig sind, sondern erst nach geschickter Umformung...
Rechne nochmal nach!

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