Addition von Rängen

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13.12.2010, 11:46	Malibou	Auf diesen Beitrag antworten »
Addition von Rängen Meine Frage: Hallo die Aufgabe lautet: Sei V ein endlich erzeugter K- Vektorraum und seien f,g: V nach V Endomorphismen von V mit f verknüpft mit g=0. Zeigen sie, dass rang f + rang g $\begin{eqnarray} \leq \end{eqnarray}$ dim_k V Meine Ideen: Also ich weiss ja dass die beiden Abb. f,g die gleichen Definitions- und Wertebereiche haben.. und das f verknüft mit g = O ist. Könnte man dann die 0 wieder als Abbildung ansehen und sagen, dass diese dann den Rang0 hat? Muss man jetzt nicht beweisen dass die Dimension von V nicht 0 ist ?
13.12.2010, 11:52	kiste	Auf diesen Beitrag antworten »
Benutze die Dimensionsformel $\begin{eqnarray} \dim_K V = \mathrm{rang} f + \dim \ker f \end{eqnarray}$ . Nimm an die Ungleichung gilt nicht und führe dies zum Widerspruch zu $\begin{eqnarray} \mathrm{im}~ g \subseteq \ker f \end{eqnarray}$
13.12.2010, 12:08	Malibou	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo, danke für die schnelle Antwort. Also schreibe ich: Angenommen $\begin{eqnarray} \dim_K V \neq \mathrm{rang} f + \dim \ker f \end{eqnarray}$ dann gilt: $\begin{eqnarray} \mathrm{im}~ g \subseteq \ker f \end{eqnarray}$ und dann muss ich $\begin{eqnarray} \dim_K V \neq \mathrm{rang} f + \dim \ker f \end{eqnarray}$ umformen.. bin leider mit der beweisführung noch nicht so vertraut..
13.12.2010, 12:11	kiste	Auf diesen Beitrag antworten »
Nein Die Dimensionsformel gilt immer. Du sollst natürlich annehmen, dass $\begin{eqnarray} \mathrm{rang}~f + \mathrm{rang}~g> \dim_K V \end{eqnarray}$ gilt Denke mal etwas mehr darüber nach, ich hab dir die Hilfsmittel jetzt alle genannt, überlege dir wie du diese benutzen kannst.
13.12.2010, 12:20	Malibou	Auf diesen Beitrag antworten »
Du meinst $\begin{eqnarray} \mathrm{rang}~f + \mathrm{rang}~g > \dim_K V \end{eqnarray}$ oder? könnte man denn sagen dass das bild von f verknüpt mit g 0 ist? weil die dim(Bild (f)) = Rang (A) ( also der Darstellungsmatrix)
13.12.2010, 12:23	kiste	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja klar, Copy&paste Fehler. Habs oben korrigiert. Was soll das Bild von f verknüpft mit g sein? Das Bild ist doch gar keine Abbildung? Ich weiß nicht was man noch mehr an Tipps geben sollte, du hast bereits alles auf dem Serviertablett da. Du musst nur noch kleine Umformungen machen.
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13.12.2010, 12:30	Malibou	Auf diesen Beitrag antworten »
also..würde $\begin{eqnarray} \mathrm{rang}~f + \mathrm{rang}~g> \dim_K V \end{eqnarray}$ gelten dann wäre dies ja ein widerspruch zu der dimensionsformel $\begin{eqnarray} \dim_K V = \mathrm{rang} f + \dim \ker f \end{eqnarray}$ , denn $\begin{eqnarray} \mathrm{im}~ g \subseteq \ker f \end{eqnarray}$ . Also bleibt nur die Möglich keit gleich oder kleiner als die dim_k V.. aber das ist es nochnicht oder ?
13.12.2010, 12:33	kiste	Auf diesen Beitrag antworten »
Hö? Wildes zusammenfügen aller meiner Tipps ist nicht die Lösung. Oder glaubst du selbst was du geschrieben hast?
13.12.2010, 12:44	Malibou	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich habe das jetzt eigentllich für mein eigenes Verständnis zusammen gefasst, meine Aussage, die ich umformen muss, ist dann ja $\begin{eqnarray} \mathrm{rang}~f + \mathrm{rang}~g> \dim_K V \end{eqnarray}$ ist das so gemeint dass man jetzt schreiben könnte: $\begin{eqnarray} \mathrm{rang}~g> \dim_K V- \mathrm{rang}~f \end{eqnarray}$
13.12.2010, 14:00	kiste	Auf diesen Beitrag antworten »
Natürlich kann man das... Aber du musst dir schon überlegen was eine solche Umformung dir bringt.
13.12.2010, 15:55	Malibou	Auf diesen Beitrag antworten »
$\begin{eqnarray} \mathrm{rang}~g> \dim_K V- \mathrm{rang}~f \end{eqnarray}$ würde dann ja eigentlich im widerspruch zu $\begin{eqnarray} \dim_K V = \mathrm{rang} f + \dim \ker f \end{eqnarray}$ . stehen nachdem man das dann zu $\begin{eqnarray} \ \dim \ker f = dim_K V - \mathrm{rang} f \end{eqnarray}$ stehen, da man ja $\begin{eqnarray} \mathrm{im}~ g \subseteq \ker f \end{eqnarray}$ angenommen hatte.. also gilt dann die anfangsaussage ..
13.12.2010, 18:06	kiste	Auf diesen Beitrag antworten »
Wo ist der Widerspruch genau? Und viel wichtiger, es scheint mir du hinterfragst übernicht woher das kommt, was hat $\begin{eqnarray} \mathrm{im}~g\subseteq \ker f \end{eqnarray}$ mit der Aufgabe zu tun?
13.12.2010, 20:29	Malibou	Auf diesen Beitrag antworten »
ja irgendwie ist das ja logisch, weil $\begin{eqnarray} \ \dim \ker f = dim_K V - \mathrm{rang} f \end{eqnarray}$ kann ja nicht gleich sein und dann gleichzeitig noch $\begin{eqnarray} \ \dim \ker f = dim_K V - \mathrm{rang} f \end{eqnarray}$ . oder? Da man $\begin{eqnarray} \mathrm{im}~g\subseteq \ker f \end{eqnarray}$ annimmt, kann man ja erst die Dimensionformel nehmen..

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