Wie Symmetrie von Zufallsvariablen erklären?

13.12.2010, 12:19	crocodilechris	Auf diesen Beitrag antworten »
Wie Symmetrie von Zufallsvariablen erklären? Hallo, ich habe einen Wahrscheinlichkeitsraum $\begin{eqnarray} (\Omega, \mathcal{A}, \mathbb{P}) \end{eqnarray}$ gegeben, mit $\begin{eqnarray} \Omega = \lbrace 1, \dotsc, 6 \rbrace^3 \Rightarrow \operatorname{Anz}(\Omega) = 6^3, \mathcal{A} = \mathcal{P}(\Omega) \text{ und } \mathbb{P}=U_{\Omega} \end{eqnarray}$ Die Zufallsvariable X beschreibt die Augensumme: $\begin{eqnarray} X: \Omega \rightarrow \tilde{\Omega} = \lbrace 1+1+1, 1+1+2, \dotsc, 6+6+5, 6+6+6\rbrace = \lbrace 3, 4, \dotsc, 17, 18\rbrace \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \omega=(\omega_1, \omega_2, \omega_3) \mapsto X(\omega) \mathrel{\mathop:}= \omega_1+ \omega_2 + \omega_3 \end{eqnarray}$ Nun soll die folgende Symmetrie erklärt werden: $\begin{eqnarray} \mathbb{P}(X=i) = \mathbb{P}(X=21-i) \end{eqnarray}$ Wie mach ich das? Wie geht man da ran?
13.12.2010, 12:52	pseudo-nym	Auf diesen Beitrag antworten »
Berechne $\begin{eqnarray} \mathbb{P}(X=i) \end{eqnarray}$ für einige Werte von i und versuche eine geschlossene Formel aufzustellen. Anhand dieser solltest du dann die Symmetrie zeigen können. Falls das scheitert, kannst du auch alle $\begin{eqnarray} \mathbb{P}(X=i) \end{eqnarray}$ ausrechnen, aber hoffen wir das es dazu nicht kommt...
13.12.2010, 19:27	crocodilechris	Auf diesen Beitrag antworten »
Also ich hab die ganze Tebelle in der nächsten Aufgabe gegeben für alle Werte von i. Da sieht man das ja quasi schon auf den ersten Blick. Hätte ich vielleicht im ersten Beitrag erwähnen sollen. Kann sie bei Bedarf auch noch posten. Hatte gehofft es gäbe einen allgemeinen Ansatz. Ich versuch dann mal ne geschlossene Formel zu finden.
13.12.2010, 19:36	René Gruber	Auf diesen Beitrag antworten »
Ein eher abstrakter Zugang: Es gibt eine bijektive Abbildung $\begin{eqnarray} \omega = (\omega_1,\omega_2,\omega_3) \mapsto (7-\omega_1,7-\omega_2,7-\omega_3) =: (\omega_1',\omega_2',\omega_3') = \omega' \end{eqnarray}$ von $\begin{eqnarray} \Omega \end{eqnarray}$ nach $\begin{eqnarray} \Omega \end{eqnarray}$ . Nun ist $\begin{eqnarray} \Omega \end{eqnarray}$ ein Laplacescher W-Raum, damit hat dann $\begin{eqnarray} Y \end{eqnarray}$ definiert durch $\begin{eqnarray} Y(\omega) := X(\omega') \end{eqnarray}$ dieselbe Verteilung wie $\begin{eqnarray} X \end{eqnarray}$ . Wie man leicht nachprüft, ist $\begin{eqnarray} Y(\omega)=21-X(\omega) \end{eqnarray}$ , kurz: $\begin{eqnarray} Y=21-X \end{eqnarray}$ .
16.12.2010, 21:27	crocodilechris	Auf diesen Beitrag antworten »
Danke, dieser Weg ist einleuchtend.

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