Graph abgeschlossene Teilmenge??

13.12.2010, 12:37	hoheshaus	Auf diesen Beitrag antworten »
Graph abgeschlossene Teilmenge?? Meine Frage: Sei $\begin{eqnarray} A\subset \mathbb R \end{eqnarray}$ abgeschlossen und $\begin{eqnarray} f: A->\mathbb R \end{eqnarray}$ stetig. Zeigen Sie, dass $\begin{eqnarray} Graph(f)=\left\{ (x, f(x)): x \in A\right\} \end{eqnarray}$ eine abgeschlossene Teilmenge von $\begin{eqnarray} \mathbb R^2 \end{eqnarray}$ ist. Und zeigen Sie weiters, dass die Menge der Nullstellen: $\begin{eqnarray} \left\{ x \in A: f(x)=0 \right\} \end{eqnarray}$ eine abgeschlossene Teilmenge von A ist. Meine Ideen: Also eine Menge ist abgeschlossen, wenn alle Häufungspunkte enthalten sind. Das hat mir bei der zweiten Frage geholfen, da von einer beliebigen Folge $\begin{eqnarray} x_{n} \in A \end{eqnarray}$ dann auch $\begin{eqnarray} \lim x_{n} \end{eqnarray}$ in A sein muss. Also nehmen wir an, es existiert ein $\begin{eqnarray} x_{n} \in A \end{eqnarray}$ wobei $\begin{eqnarray} lim x_{n}=x \end{eqnarray}$ nicht in A liegt: $\begin{eqnarray} f(x_{n})=0 \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} \lim f(x_{n})= f(\lim x_{n})= f(x)\neq 0 \end{eqnarray}$ was ein Widerspruch ist zu $\begin{eqnarray} f(x_{n})=0 \end{eqnarray}$ für alle $\begin{eqnarray} x_{n} \end{eqnarray}$ Kann man das so machen?? Wenn ich mir das Ganze jetzt nochmal anschaue, kommt mir das ziemlich schwammig vor. Und zur erste Frage hab ich leider keinen Ansatz, wäre also super, wenn mir da jemand weiterhelfen könnte!!
15.12.2010, 10:15	Cel	Auf diesen Beitrag antworten »
Also, ich das mit dem Häufungspunkt würde ich unterschreiben. Zu der anderen Aufgabe: Kennst du die eine wichtige Eigenschaft des Randes $\begin{eqnarray} \partial A \end{eqnarray}$ einer Menge $\begin{eqnarray} A \subset \mathbb{R}^2 \end{eqnarray}$ ? Was ist mit dem Rand? Abgeschlossen, offen, gar nichts?

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