Anfangswertproblem eindeutig lösbar

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vektorraum Auf diesen Beitrag antworten »
Anfangswertproblem eindeutig lösbar
Hi!

Ich habe eine Dgl gegeben mit

mit AWP .

Ist das AWP für alle Wertepaare eindeutig lösbar???

Ich habe jetzt erstmal folgendes gemacht, dass ich die Dgl gelöst habe. Ich erhalte dann nämlich:



Das AWP ist jedoch meiner Meinung nach nicht eindeutig lösbar, denn ich erhalte die Lösungen



Stimmt das denn??? Weil wir haben im Moment gerade Existenzsätze wie Peano und Picard-Lindelöf...
Aber ich glaube, wir müssen die hier gar nicht verwenden, oder???
Danke für eure Hilfe. Wink
irre.flexiv Auf diesen Beitrag antworten »



Das AWP besteht doch darin einen eindeutigen Wert für c zu ermitteln. Warum soll das hier nicht gehen?
vektorraum Auf diesen Beitrag antworten »

Ich war mir nicht sicher gewesen, weil ich ja zwei Lösungen erhalte, d.h. einmal y identisch o und dann halt eine zweite Lösung...
Fand die Aufgabenstellung dann halt nur zu einfach von unserem Prof...
Aber stimmt, c kann ja immer eindeutig bestimmt werden?
irre.flexiv Auf diesen Beitrag antworten »

Ja. (alles Äquivalenzumformungen)
vektorraum Auf diesen Beitrag antworten »

@irre.flexiv: Danke! Das hatte ich auch schon raus. Aber hab mich halt gewundert, weil unser Prof sonst auch nicht so humane Aufgaben stellt verwirrt

Dankeschön! Wink
Mathespezialschüler Auf diesen Beitrag antworten »

Für ist es nicht eindeutig lösbar! Dann gibt es nämlich die beiden Lösungen





mit .

Ob es in den anderen Fällen immer nur eine Lösung gibt, kann ich noch nicht sagen.

Gruß MSS
 
 
irre.flexiv Auf diesen Beitrag antworten »

Achso stimmt. Jetzt machts klick Forum Kloppe
vektorraum Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Mathespezialschüler
Für ist es nicht eindeutig lösbar! Dann gibt es nämlich die beiden Lösungen





mit .

Ob es in den anderen Fällen immer nur eine Lösung gibt, kann ich noch nicht sagen.

Gruß MSS


@MSS: Genau das hatte ich nämlich auch gedacht - ich hätte jetzt also einfach begründet, dass die Dgl nicht eindeutig lösbar ist, da immer Lösung ist und halt die andere...
Aber was ist dein c??? Kenne noch nicht... Hat die Aufgabe was mit den Existenzsätzen zu tun???
Matsch Auf diesen Beitrag antworten »

kriege ich beim Lösen der DGL heraus. Was hab ich denn falsch gemacht?
Sunwater Auf diesen Beitrag antworten »

sgn steht für Vorzeichen...
phi Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Matsch
kriege ich beim Lösen der DGL heraus. Was hab ich denn falsch gemacht?


Durch welche Schritte bis du dazu gekommen ?

mfg, phi
Mathespezialschüler Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von vektorraum
Genau das hatte ich nämlich auch gedacht - ich hätte jetzt also einfach begründet, dass die Dgl nicht eindeutig lösbar ist, da immer Lösung ist und halt die andere...
[...]
Hat die Aufgabe was mit den Existenzsätzen zu tun???

Für , z.B. ist aber keine Lösung, da ja dann auch wäre, es soll aber sein.
Zu den Existenzsätzen: Welche hattet ihr denn da schon?

Gruß MSS
AD Auf diesen Beitrag antworten »

Entschuldigt, dass ich den Thread erst jetzt entdecke:

Die Sache ist um einiges komplizierter: An jeder Nullstelle kann sich nämlich die Funktion "entscheiden", in welche Richtung sie weiter marschieren will...

Statt näher zu erläutern, was ich damit meine, werft mal einen Blick auf die folgende Funktion:



Auch diese Funktion ist Lösung der Dgl. smile
vektorraum Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Mathespezialschüler
Für , z.B. ist aber keine Lösung, da ja dann auch wäre, es soll aber sein.
Zu den Existenzsätzen: Welche hattet ihr denn da schon?

Gruß MSS


Wir haben heute glücklicherweise eine Aufgabe in unserem Seminar gerechnet, die so ähnlich war. Zu dieser Aufgabe:

@MSS: Wir hatten bis jetzt den Satz von Picard-Lindelöf und Peano.

Ich würde jetzt sagen, dass die rechte Seite der Dgl in ganz stetig ist und nach Peano in jedem Punkt eine Lösung existiert.

Wenn außerdem ist, dann existiert eine Umgebung von , sodass darin Lipschitz-stetig ist. Also exisitert zur Anfangsbedingung mit genau eine Lösung. Jetzt bin ich noch am überlegen, was denn passiert wenn ist... Da hab ich die Vermutung, dass das AWP sogar unendlich viele Lösungen hat... muss es aber noch beweisen Augenzwinkern

@Arthur Dent: Genau so ähnlich hat man mir es heute auch gesagt an einem analogen Beispiel. Find das ja mal übelst interessant von der Funktion Augenzwinkern

Aber schon mal danke für eure Hinweise...
AD Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von vektorraum
Wenn außerdem ist, dann existiert eine Umgebung von , sodass darin Lipschitz-stetig ist. Also exisitert zur Anfangsbedingung mit genau eine Lösung.

Korrektur: Zur Anfangsbedingung mit existiert genau eine lokale Lösung, d.h., in einer Umgebing von . Global, also als Funktion über ganz muss die Lösung nicht notwendig eindeutig sein!!! Das hängt von der genauen Konstellation ab: Im Fall müsste es auch global eindeutig sein, sonst nicht - wenn ich mich nicht verrechnet habe...
Mathespezialschüler Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Arthur Dent
Die Sache ist um einiges komplizierter: An jeder Nullstelle kann sich nämlich die Funktion "entscheiden", in welche Richtung sie weiter marschieren will...

Hab mir schon irgendwie sowas gedacht, war aber zu faul, genauer zu gucken, ob es da evtl. irgendwelche Sprungstellen geben könnte.

Zitat:
Original von Arthur Dent
Im Fall müsste es auch global eindeutig sein, sonst nicht - wenn ich mich nicht verrechnet habe...

Wie du allerdings darauf kommst, würde mich auch sehr interessieren ...

Gruß MSS
AD Auf diesen Beitrag antworten »

Sehr einfach: Im Fall ist die Lösung lokal eindeutig, und hat die Gestalt



mit einem passenden . Wie sieht dieses nun aus? Das kriegt man natürlich durch Einsetzen von raus:



(die dritte Wurzel sei hier ausnahmsweise mal im "erweiterten" Sinn zu verstehen, also auch für negative Argumente). Ist nun , dann besitzt irgendwo eine Nullstelle, wenn wir uns von in beide Richtungen vortasten, nämlich bei



Und von dort an gilt dann wieder die oben erwähnte Mehrdeutigkeit.

Und ist nun mal äquivalent zu .
vektorraum Auf diesen Beitrag antworten »

@Arthur Dent: Danke für den Hinweis: Wir hatten das heute auch besprochen, dass wohl die Sätze von Picard-Lindelöf und Peano nur eine Aussage über lokale Lösungen machen (wenn überhaupt vorhanden) - und zur globalen Aussage die s.g. Fortsetzungssätze doer so da sind. Aber die haben wir noch gar nicht gehabt...

Ich habe nochmal drüber nachgedacht und erhalte nun:
Ist ex. eine Umgebung von , in der Lipschitz-stetig ist. D.h es gilt:



für eine gewisse Konstante . Also:



D.h. zum AWP exisitert genau eine Lösung (siehe oben).
Ist nun , dann ist beliebiger Punkt der x-Achse. Jedoch ist in keiner Umgebung Lipschitz-stetig um . Betrachtet man jetzt



erhalten wir für :



D.h. das AWP ist nicht eindeutig lösbar.

So richtig???

Nochmal eine Frage: Wir hatten heute die Dgl



D.h. das Gebiet darf schon mal nicht auf oder an der y-Achse liegen, kann aber nahe genug an die x-Achse rankommen (ich glaube er nannte es dann infinitisimale Annäherung oder so...). Dann wurde die partielle Ableitung



gebildet - und wir haben festgestellt, dass y nicht Null werden darf. Meine Frage ist nun, ob ich solch eine Untersuchung bei meiner Aufgabe auch machen soll und warum haben wir das eigentlich gemacht??? Einfach um zu schauen, wie sich meine Funktion für "sehr kleine" y verhält???

Dankeschön Wink
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