Anfangswertproblem eindeutig lösbar |
19.11.2006, 19:43 | vektorraum | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Anfangswertproblem eindeutig lösbar Ich habe eine Dgl gegeben mit mit AWP . Ist das AWP für alle Wertepaare eindeutig lösbar??? Ich habe jetzt erstmal folgendes gemacht, dass ich die Dgl gelöst habe. Ich erhalte dann nämlich: Das AWP ist jedoch meiner Meinung nach nicht eindeutig lösbar, denn ich erhalte die Lösungen Stimmt das denn??? Weil wir haben im Moment gerade Existenzsätze wie Peano und Picard-Lindelöf... Aber ich glaube, wir müssen die hier gar nicht verwenden, oder??? Danke für eure Hilfe. |
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19.11.2006, 21:57 | irre.flexiv | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Das AWP besteht doch darin einen eindeutigen Wert für c zu ermitteln. Warum soll das hier nicht gehen? |
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19.11.2006, 23:47 | vektorraum | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Ich war mir nicht sicher gewesen, weil ich ja zwei Lösungen erhalte, d.h. einmal y identisch o und dann halt eine zweite Lösung... Fand die Aufgabenstellung dann halt nur zu einfach von unserem Prof... Aber stimmt, c kann ja immer eindeutig bestimmt werden? |
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19.11.2006, 23:59 | irre.flexiv | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Ja. (alles Äquivalenzumformungen) |
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20.11.2006, 00:05 | vektorraum | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
@irre.flexiv: Danke! Das hatte ich auch schon raus. Aber hab mich halt gewundert, weil unser Prof sonst auch nicht so humane Aufgaben stellt Dankeschön! |
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20.11.2006, 00:07 | Mathespezialschüler | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Für ist es nicht eindeutig lösbar! Dann gibt es nämlich die beiden Lösungen mit . Ob es in den anderen Fällen immer nur eine Lösung gibt, kann ich noch nicht sagen. Gruß MSS |
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20.11.2006, 00:16 | irre.flexiv | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Achso stimmt. Jetzt machts klick |
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20.11.2006, 21:05 | vektorraum | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
@MSS: Genau das hatte ich nämlich auch gedacht - ich hätte jetzt also einfach begründet, dass die Dgl nicht eindeutig lösbar ist, da immer Lösung ist und halt die andere... Aber was ist dein c??? Kenne noch nicht... Hat die Aufgabe was mit den Existenzsätzen zu tun??? |
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21.11.2006, 07:46 | Matsch | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
kriege ich beim Lösen der DGL heraus. Was hab ich denn falsch gemacht? |
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21.11.2006, 08:33 | Sunwater | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
sgn steht für Vorzeichen... |
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21.11.2006, 09:06 | phi | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Durch welche Schritte bis du dazu gekommen ? mfg, phi |
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21.11.2006, 11:10 | Mathespezialschüler | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Für , z.B. ist aber keine Lösung, da ja dann auch wäre, es soll aber sein. Zu den Existenzsätzen: Welche hattet ihr denn da schon? Gruß MSS |
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21.11.2006, 13:55 | AD | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Entschuldigt, dass ich den Thread erst jetzt entdecke: Die Sache ist um einiges komplizierter: An jeder Nullstelle kann sich nämlich die Funktion "entscheiden", in welche Richtung sie weiter marschieren will... Statt näher zu erläutern, was ich damit meine, werft mal einen Blick auf die folgende Funktion: Auch diese Funktion ist Lösung der Dgl. |
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21.11.2006, 15:42 | vektorraum | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Wir haben heute glücklicherweise eine Aufgabe in unserem Seminar gerechnet, die so ähnlich war. Zu dieser Aufgabe: @MSS: Wir hatten bis jetzt den Satz von Picard-Lindelöf und Peano. Ich würde jetzt sagen, dass die rechte Seite der Dgl in ganz stetig ist und nach Peano in jedem Punkt eine Lösung existiert. Wenn außerdem ist, dann existiert eine Umgebung von , sodass darin Lipschitz-stetig ist. Also exisitert zur Anfangsbedingung mit genau eine Lösung. Jetzt bin ich noch am überlegen, was denn passiert wenn ist... Da hab ich die Vermutung, dass das AWP sogar unendlich viele Lösungen hat... muss es aber noch beweisen @Arthur Dent: Genau so ähnlich hat man mir es heute auch gesagt an einem analogen Beispiel. Find das ja mal übelst interessant von der Funktion Aber schon mal danke für eure Hinweise... |
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21.11.2006, 16:27 | AD | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Korrektur: Zur Anfangsbedingung mit existiert genau eine lokale Lösung, d.h., in einer Umgebing von . Global, also als Funktion über ganz muss die Lösung nicht notwendig eindeutig sein!!! Das hängt von der genauen Konstellation ab: Im Fall müsste es auch global eindeutig sein, sonst nicht - wenn ich mich nicht verrechnet habe... |
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21.11.2006, 17:51 | Mathespezialschüler | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Hab mir schon irgendwie sowas gedacht, war aber zu faul, genauer zu gucken, ob es da evtl. irgendwelche Sprungstellen geben könnte.
Wie du allerdings darauf kommst, würde mich auch sehr interessieren ... Gruß MSS |
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21.11.2006, 17:58 | AD | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Sehr einfach: Im Fall ist die Lösung lokal eindeutig, und hat die Gestalt mit einem passenden . Wie sieht dieses nun aus? Das kriegt man natürlich durch Einsetzen von raus: (die dritte Wurzel sei hier ausnahmsweise mal im "erweiterten" Sinn zu verstehen, also auch für negative Argumente). Ist nun , dann besitzt irgendwo eine Nullstelle, wenn wir uns von in beide Richtungen vortasten, nämlich bei Und von dort an gilt dann wieder die oben erwähnte Mehrdeutigkeit. Und ist nun mal äquivalent zu . |
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21.11.2006, 17:59 | vektorraum | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
@Arthur Dent: Danke für den Hinweis: Wir hatten das heute auch besprochen, dass wohl die Sätze von Picard-Lindelöf und Peano nur eine Aussage über lokale Lösungen machen (wenn überhaupt vorhanden) - und zur globalen Aussage die s.g. Fortsetzungssätze doer so da sind. Aber die haben wir noch gar nicht gehabt... Ich habe nochmal drüber nachgedacht und erhalte nun: Ist ex. eine Umgebung von , in der Lipschitz-stetig ist. D.h es gilt: für eine gewisse Konstante . Also: D.h. zum AWP exisitert genau eine Lösung (siehe oben). Ist nun , dann ist beliebiger Punkt der x-Achse. Jedoch ist in keiner Umgebung Lipschitz-stetig um . Betrachtet man jetzt erhalten wir für : D.h. das AWP ist nicht eindeutig lösbar. So richtig??? Nochmal eine Frage: Wir hatten heute die Dgl D.h. das Gebiet darf schon mal nicht auf oder an der y-Achse liegen, kann aber nahe genug an die x-Achse rankommen (ich glaube er nannte es dann infinitisimale Annäherung oder so...). Dann wurde die partielle Ableitung gebildet - und wir haben festgestellt, dass y nicht Null werden darf. Meine Frage ist nun, ob ich solch eine Untersuchung bei meiner Aufgabe auch machen soll und warum haben wir das eigentlich gemacht??? Einfach um zu schauen, wie sich meine Funktion für "sehr kleine" y verhält??? Dankeschön |
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