Kombinatorik/Wahrscheinlichkeit für "one pair"

13.12.2010, 13:36

DavidQuenk

Kombinatorik/Wahrscheinlichkeit für "one pair"

Hallo,

ich bin gerade am Verzweifeln. Heute wollte ich noch einmal schnell die Kombinatorik auffrischen, aber das funktioniert nicht so, wie ich es mir vorgestellt habe:

Es ist an sich ein ganz einfaches Beispiel:
Es wird mit fünf Würfeln gewürfelt und gesucht ist die W'keit für zwei Mal die gleiche Zahl und alle anderen Zahlen sollen verschieden sein,
Bsp: 1 1 3 4 5

Ich dachte mir:
Es ist egal, was ich zuerst würfle, also 1*, so, dass ich die Zahl noch einmal würfel ist 1/6, und dann jeweils eine andere ist: 5/6 * 4/6 *3/6
jetzt kann ja nicht nur 11345 auftreten, sondern auch theoretisch 13145, was gleichwertig ist, also muss ich die Permutation noch mit einberechnen: 5!/2!

Dann komme ich allerdings auf eine W'keit größer als 1!
Und ich sehe meinen Denkfehler einfach nicht

Im Schulbuch steht als Lösung:
$\begin{eqnarray*} \frac{\begin{pmatrix} 5 \\ \\ 2 \end{pmatrix}*6*5*4*3 }{6^{5}} = 46,3 % \end{eqnarray*}$

Wo ist den mein Denkfehler???

13.12.2010, 14:23

Nashsright

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Deine Idee ist auch richtig, allerdings ist

$\begin{eqnarray*} {5 \choose 2} \neq \frac{5!}{2!} \end{eqnarray*}$

Schau nochmal nach wie man den Binomialkoeffizienten berechnet, dann kommts dir auch richtig raus.

13.12.2010, 15:18

DavidQuenk

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Vielen Dank für deine Antwort!

Wieso soll man nun aber noch einmal durch 3! teilen? Das ergibt für mich keinen Sinn.
Wenn ich die Anordnungsmöglichkeiten für das Wort "KANNE" berechnen sollte, wäre das ja auch 5!/2!, oder? Weil nur der Buchstabe N zweimal vorkommt und diese "Doppelbesetzung" dann rausgekürzt werden muss (KAN1N2E) ist ja das Gleiche wie (KAN2N1E) (wenn man von N1 und N2 ausgehen würde)?
Oder?

Kannst du mir erklären wieso man 5 über 2 rechnet?

13.12.2010, 15:36

René Gruber

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RE: Kombinatorik/Wahrscheinlichkeit für "one pair"

Zitat:

Original von DavidQuenk
Es ist egal, was ich zuerst würfle, also 1*, so, dass ich die Zahl noch einmal würfel ist 1/6, und dann jeweils eine andere ist: 5/6 * 4/6 *3/6

jetzt kann ja nicht nur 11345 auftreten, sondern auch theoretisch 13145, was gleichwertig ist, also muss ich die Permutation noch mit einberechnen: 5!/2!

In diesem Szenario berechnest du die Vertauschungsmöglichkeiten der drei restlichen Zahlen (also in deinem Beispiel 3,4,5) doppelt - in jedem der Sätze jeweils einmal. Das geht nicht: entweder oder, aber nicht beidesmal. unglücklich

13.12.2010, 15:40

DavidQuenk

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Hallo

Wieso berechne ich die Vertauschungsmöglichkeiten für die übrigen drei Zahlen doppelt?

Ich teile doch durch zwei? Damit korrigiere ich doch die Kombinationen (siehe Kanne) die doppelt vorkommen?

13.12.2010, 19:30

Nashsright

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Du willst ja nur berechnen auf wieviele Arten du die 2 Würfe auf 5 aufteilen kannst, d.h. bei deinem KANNE Beispiel ist der Fall AKNNE ident mit dem Fall AENNK, deshalb wird zusätzlich noch durch $\begin{eqnarray*} 3!(=(5-2)!) \end{eqnarray*}$ gekürzt bei $\begin{eqnarray*} {5 \choose 2} \end{eqnarray*}$ .

13.12.2010, 19:46

René Gruber

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@DavidQuenk

Ich erwarte ja nicht unbedingt, dass du die richtige Lösung sofort begreifst.

Was ich aber erwarte, dass du deine Lösung allein schon aus dem Grund als falsch erkennst, weil da

1/6 * 5/6 * 4/6 * 3/6 * 5!/2! = 25/9

herauskommt - bisschen groß diese Zahl $\begin{eqnarray*} \frac{25}{9} \approx 2.78 \end{eqnarray*}$ für eine Wahrscheinlichkeit, die nach Möglichkeit denn doch nicht größer als 1 sein sollte. Augenzwinkern

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