gerade/ungerade Funktionen

13.12.2010, 14:29

Flori1990

gerade/ungerade Funktionen

hallo

die aufgabe(n) lautet wie folgt

Sei f: R-->R eine differenzierbare funktion. zeigen sie :

a) wenn f eine grade funktion ist, dann ist f' ungerade und f'(0)=0
b) wenn f eine ungerade funktion ist, dann ist f's gerade und f(0)=0

meine frage lautet nun
- sind alle ungeraden funktionen punktsymetrisch zum ursprung
- sind alle geraden funktionen achsensymetrisch zur y-achse

oder gibt es da ausnahmen ?????

lg flo

13.12.2010, 15:06

René Gruber

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Das sie ja gerade über diese Eigenschaften definiert sind, gibt es keine Ausnahmen. Augenzwinkern

13.12.2010, 17:53

Flori1990

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ja das wollte ich ja wissen Augenzwinkern

dankeschön

kann ich also sagen, dass diese symetrie der grund dafür ist, dass bei der entsrpechenden aufgabe f'(0)=0 bzw f(0)=0 ist ?

13.12.2010, 18:06

Flori1990

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was ist denn dann zum beispiel mit dem kotangens !!?!?!
ist das nicht auch ne ungerade funktion ??! un geht nicht durch 0 !?!?!

13.12.2010, 20:49

Flori1990

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push ^^ sorry Augenzwinkern

13.12.2010, 20:52

baphomet

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EDIT: Ja habe das falsche Schaubild im Kopf gehabt, das des Tangens.

Alle Ganzrationalen Funktionen die nur ungerade Exponenten haben sind UNGERADE.
SINUS, TANGENS SIND ungerade Funktionen
SINH/TANH ist ungerade

Alle Ganzrationalen Funktionen die nur gerade Exponenten haben sind GERADE
COSINUS und COSH sind gerade Funktionen.

Und UNGERADE Funktionen sind nunmal so definiert das die punktsymmetrisch zum
K.ursprung sind und es gilt

$\begin{eqnarray*} f(x)=-f(-x) \end{eqnarray*}$

Mehr fällt mir im Moment nicht ein.

13.12.2010, 20:57

René Gruber

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Dann müssen wir wohl doch etwas genauer werden:

Eine Funktion $\begin{eqnarray*} f:\;D\to \mathbb{R} \end{eqnarray*}$ mit Definitionsbereich $\begin{eqnarray*} D\subseteq \mathbb{R} \end{eqnarray*}$ nennt man ungerade, wenn für alle $\begin{eqnarray*} x\in D \end{eqnarray*}$ sowohl $\begin{eqnarray*} -x\in D \end{eqnarray*}$ als auch $\begin{eqnarray*} f(-x)=-f(x) \end{eqnarray*}$ gilt.

In dieser Definition wird NICHT gefordert, dass die Funktion $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ auf ganz $\begin{eqnarray*} \mathbb{R} \end{eqnarray*}$ (also $\begin{eqnarray*} D=\mathbb{R} \end{eqnarray*}$ ) definiert ist. unglücklich

Im Fall $\begin{eqnarray*} f(x) = \cot(x) \end{eqnarray*}$ gilt z.B. $\begin{eqnarray*} 0\not\in D \end{eqnarray*}$ , also kann man über $\begin{eqnarray*} f(0) \end{eqnarray*}$ auch nichts aussagen. Die Aussage

Zitat:

Original von baphomet
Der Kotangens geht durch den K.ursprung

ist somit falsch.

13.12.2010, 21:44

Flori1990

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reicht es also
wenn ich jetzt zb für die a) sag:
f(x)=f(-x) ist die eigentschaft einer geraden funktion... des leit ich ab

(f(x))' = (f(-x))'
f(x)' = - f(-x)' und das ist ja die eigenschaft einer ungeraden funktion

also ist die ableitung einer geraden funktion eine ungerade funktion

und f'(0) = 0 weil die ableitung eine ungerade funtkion ist , welche punktsymetrisch zum ursprungt ist

analog die b)

kann ich das so machen ?

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