Problem mit Beweisschritt

13.12.2010, 14:41	lego	Auf diesen Beitrag antworten »
Problem mit Beweisschritt Ich versuche hier gerade den Beweis zu verstehen, dass l², die Menge der quadratisch Summierbaren Folgen reeller zahlen vollständig ist unter der euklidischen Metrik. im Beweis gibt es folgenden Punkt: "Sei jetzt $\begin{eqnarray} (x_{n})_{n \geq 1} \end{eqnarray}$ eine Cauchy-Folge in l². Schreiben wir $\begin{eqnarray} x_n=(x_{nk})_{k \geq 1} \end{eqnarray}$ , dann können wir $\begin{eqnarray} (x_{n}) \end{eqnarray}$ als Matrix reeller Zahlen anordnen (...) wobei die erste Zeile $\begin{eqnarray} x_1 \end{eqnarray}$ , die zweite Zeile $\begin{eqnarray} x_2 \end{eqnarray}$ usw. entspricht..." So, nun Frage ich mich, ob da Fehler im Skript sind, oder wie ich das zu verstehen habe. $\begin{eqnarray} (x_{n})_{n \geq 1} \end{eqnarray}$ ist ja eine Folge, $\begin{eqnarray} x_n \end{eqnarray}$ ist doch ein Element dieser Folge, oder? Wie kann es sein, dass ich dieses Element wieder als Folge anschreiben kann? $\begin{eqnarray} x_n=(x_{nk})_{k \geq 1} \end{eqnarray}$ vermittelt mir den Eindruch als würde das gemacht. Dass es eine Ziffernfolge ist kann ich ausschließen und sonst könnte ich mir nicht vorstellen, wie man aus einem Element plötzlich eine Folge macht.
13.12.2010, 19:01	gonnabphd	Auf diesen Beitrag antworten »
Hi, Sei $\begin{eqnarray} (x_n) \end{eqnarray}$ eine Folge in $\begin{eqnarray} \ell^2 \end{eqnarray}$ bedeutet, dass für jedes $\begin{eqnarray} n \in \mathbb N \end{eqnarray}$ gilt: $\begin{eqnarray} x_n \in \ell^2 \end{eqnarray}$ . Das heisst $\begin{eqnarray} x_n = (x_1^{(n)}, x_2^{(n)}, x_3^{(n)}, \ldots ) \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} x_i^{(j)} \in \mathbb R \end{eqnarray}$ oder in der Notation vom Beweis: $\begin{eqnarray} x_n = (x_{n1}, x_{n2}, x_{n3}, \ldots) \end{eqnarray}$
13.12.2010, 19:09	lego	Auf diesen Beitrag antworten »
achso, also verstehe ich das richtig: Wir befinden uns in einem Raum, in dem alle Elemente quadratisch Summierbaren Folgen sind und in diesem Raum bilden wir eine Folge. Also eine Folge von quadratisch summierbaren Folgen. ?
13.12.2010, 21:36	gonnabphd	Auf diesen Beitrag antworten »
Jenau.

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