Randdichte eines Zufallsvektors

13.12.2010, 15:07	Iorek	Auf diesen Beitrag antworten »
Randdichte eines Zufallsvektors Moin, ich sitze gerade an einer Aufgabe, wo ich nicht so ganz weiter kommen. Die Dichtefunktion des Zufallsvektors $\begin{eqnarray} (X,Y) \end{eqnarray}$ im $\begin{eqnarray} \mathbb R^2 \end{eqnarray}$ sei definiert durch $\begin{eqnarray} f^{(X,Y)}(x,y)=\begin{cases} c(x+2xy) & x,y \in [0,2] \\ 0 & \text{sonst} \end{cases} \end{eqnarray}$ . Zuerst sollte man $\begin{eqnarray} c \end{eqnarray}$ so bestimmen, dass wirklich eine Riemanndichte vorliegt ( $\begin{eqnarray} c=\frac 1{12} \end{eqnarray}$ ). Danach sollte man die Verteilungsfunktion des Zufallsvektors $\begin{eqnarray} (X,Y) \end{eqnarray}$ bestimmen, diese beiden Sachen waren auch kein Problem. Allerdings komme ich bei der nächsten Aufgabe nicht weiter: Ermitteln sie die Randdichten der Zufallsvariablen $\begin{eqnarray} X \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} Y \end{eqnarray}$ . Mein erster Versuch für die Randdichte von $\begin{eqnarray} X \end{eqnarray}$ führte zu $\begin{eqnarray} f^X(x)=\begin{cases} \frac 12x & x\in [0,2] \\ 0 & \text{sonst} \end{cases} \end{eqnarray}$ , bin mir allerdings nicht sicher, ob das so stimmt. Um die Randdichte zu bestimmen habe ich $\begin{eqnarray} \int_{-\infty}^{\infty} f(x,y) \operatorname{dy} \end{eqnarray}$ bestimmt und dabei die Fälle $\begin{eqnarray} x\in [0,2],~x\notin [0,2] \end{eqnarray}$ unterschieden. Für $\begin{eqnarray} x\in [0,2] \end{eqnarray}$ habe ich dann $\begin{eqnarray} \int_{-\infty}^{\infty} f(x,y)\operatorname{dy}=\int_0^2 f(x,y)\operatorname{dy} \end{eqnarray}$ erhalten. Ist das Vorgehen (oder sogar das Ergebnis) soweit richtig oder ist da ein Fehler drin? Nachtrag: $\begin{eqnarray} f^Y(y)=\begin{cases} \frac 13y+\frac 16 & y\in[0,2] \\ 0 & \text{sonst}\end{cases} \end{eqnarray}$
13.12.2010, 15:16	René Gruber	Auf diesen Beitrag antworten »
Alles in Ordnung, sowohl $\begin{eqnarray} f^X \end{eqnarray}$ als auch das nachgereichte $\begin{eqnarray} f^Y \end{eqnarray}$ .
13.12.2010, 15:20	Iorek	Auf diesen Beitrag antworten »
Ok, dann noch eine Frage zum "Warum" Ich habe z.B. bei der Randdichtenbestimmung für $\begin{eqnarray} X \end{eqnarray}$ angenommen, dass $\begin{eqnarray} \int_{-\infty}^0 f^{X,Y}(x,y)\operatorname{dy}=0 \end{eqnarray}$ gilt, da wir hier $\begin{eqnarray} y\notin [0,2] \end{eqnarray}$ hätten und somit $\begin{eqnarray} f^{(X,Y)}=0 \end{eqnarray}$ ist, selbe Begründung für das Integral von 2 bis unendlich; sollte man da noch mehr zu sagen oder reicht das als Begründung? Bin aber schonmal recht froh, dass die Randdichten stimmen, die Zufallsvariablen sind also auch stochastig unabhängig, da $\begin{eqnarray} f^X\cdot f^Y=f^{(X,Y)} \end{eqnarray}$ gilt.
13.12.2010, 15:27	René Gruber	Auf diesen Beitrag antworten »
Mir würde es reichen. Bei allen Betrachtungen muss man sich aber ohnehin im klaren sein, dass Dichten nur (Lebesgue-)fast überall eindeutig bestimmt sind: D.h., zu sagen, dass die Dichte an konkret einer Stelle diesen oder jenen Wert haben muss, ist immer falsch. Erst unter Zusatzvoraussetzungen an die Dichte wie Stetigkeit (was man aber auch nicht an allen Stellen erreichen kann, etwa nicht auf dem Rand deines 2x2-Quadrates) kann man sowas erreichen. Hoffentlich habe ich dich jetzt nicht verwirrt, in dem Fall vergiss den gesamten Absatz.
13.12.2010, 15:32	Iorek	Auf diesen Beitrag antworten »
Wir betrachten bisher nur stetige (Riemann-)Dichten, von daher darf ich die Zusatzvoraussetzung der Stetigkeit verwenden. Gut, das wars dann schon, vielen Dank.

1

Verwandte Themen

Die Beliebtesten »

Die Größten »

Die Neuesten »