Kostenelastizität-Punktelastizität-Kettenregel

13.12.2010, 16:39	Fonsie	Auf diesen Beitrag antworten »
Kostenelastizität-Punktelastizität-Kettenregel Hallo, es geht um folgende Aufgabe: Kostenfunktion: k(x) = $\begin{eqnarray} \sqrt{50x²+3750} \end{eqnarray}$ für x>0 beschreibe den Zusammenhang zwischen der Fertigungsmenge x und den Gesamtkosten k(x). 1. Bestimmen Sie die Kostenelastizität als Funktion der Menge x 2. Wie groß ist die Punktelastizität an der Stelle x=5? So. Per Definition ist die Elastizität gleich der 1.Ableitung der Stammfunktion geteilt durch die Durchschnittsfunktion. Ich brauche also als zuerst die Ableitung von: $\begin{eqnarray} \sqrt{50x²+3750} \end{eqnarray}$ Mithilfe der Kettenregel hab ich da raus: $\begin{eqnarray} \frac{1}{2}(50x²+3750x)^{-\frac{1}{2} } (100x) \end{eqnarray}$ Das Ergebnis müsste dann durch die Durchscnittsfunktion geteilt werden: Durchschnttsfunktion: $\begin{eqnarray} \frac{\sqrt{50x²+3750} }{x} \end{eqnarray}$ Das bedeutet: $\begin{eqnarray} \frac{\frac{1}{2}(50x²+3750x)^{-\frac{1}{2} } (100x)}{\frac{\sqrt{50x²+3750} }{x}} \end{eqnarray}$ Stimmt das soweit und wie gehts weiter? Danke!
13.12.2010, 18:01	tohuwabou	Auf diesen Beitrag antworten »
Bei der Ableitung hast du ein $\begin{eqnarray} x \end{eqnarray}$ hinter der $\begin{eqnarray} 3750 \end{eqnarray}$ zu viel. Den Ausdruck unten kann man noch vereinfachen. $\begin{eqnarray} u^{-\frac{1}{2}} = \frac{1}{\sqrt{u}} \end{eqnarray}$
13.12.2010, 18:30	Fonsie	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja, alles klar. Aber das bringt mich in puncto Kostenelastizität noch nicht weiter. Geschweige denn der Punktelastizität.
13.12.2010, 18:49	tohuwabou	Auf diesen Beitrag antworten »
Wenn du den Ausdruck vereinfacht hast, hast du damit doch nach deinen Definitionen die Kostenelastizitäts-Funktion in $\begin{eqnarray} x \end{eqnarray}$ . Also $\begin{eqnarray} \frac{50x^2}{50x^2+3750} \end{eqnarray}$ Für den Punkt 2 setzt du für $\begin{eqnarray} x=5 \end{eqnarray}$ ein.
13.12.2010, 19:03	Fonsie	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja. Das stimmt. Und das Ergebnis von 0,25 ist auch richtig. Aber mit der Vereinfachung komme ich nicht so schnell hinterher. Kannst Du mir da nochmal kurz erläutern, wie Du verfahren bist?
13.12.2010, 19:16	tohuwabou	Auf diesen Beitrag antworten »
Klar, $\begin{eqnarray} \frac{\frac{1}{2}(50x²+3750)^{-\frac{1}{2} } (100x)}{\frac{\sqrt{50x²+3750} }{x}} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} =\frac{1}{2}(50x^2+3750)^{-\frac{1}{2}}100x * \frac{x}{\sqrt{50x^2+3750}} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} =50x\frac{1}{\sqrt{50x^2+3750}}\frac{x}{\sqrt{50x^2+3750}} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} =\frac{50x^2}{50x^2+3750} \end{eqnarray}$ Vielleicht hast du das $\begin{eqnarray} \sqrt{y}\sqrt{y}=y \end{eqnarray*}$ nicht beachtet?
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13.12.2010, 23:01	Fonsie	Auf diesen Beitrag antworten »
Nee, genau, das hab ich nicht beachtet. So lässt sich die Lösung aber hervorragend nachvollziehen. Vielen Dank für die schnelle und kompetente Hilfe!

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