unterschied zwischen minimierung und maximierung bei lagrange

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fragestellerin Auf diesen Beitrag antworten »
unterschied zwischen minimierung und maximierung bei lagrange
Hallo zusammen,

irgendwie finde ich nirgends eine aussagekräftige Information dazu - weder im Vorlesungsskript noch in anderen Unterlagen.
Und zwar geht es darum, wie sich ein Minimierungsproblem von einem Maximierungsproblem bei der Lagrangemethode unterscheidet.

ein Maximierungsproblem löse ich laut Unterlagen mit:

L(lamda,v1,v2)= l1v1 + l2v2 - lamda mal (nebenbedingungsfkt. in nullform)

Löse ich dann ein Minimierungsproblem wie folgt?

L(lamda,v1,v2)= l1v1 + l2v2 + lamda mal (nebenbedingungsfkt. in nullform)

also nur mit einem + statt einem - ?
Cel Auf diesen Beitrag antworten »

Ob du - oder + Lambda rechnest, ist unerheblich. Manche definieren es so, andere so.

Die Art eines Extremums kannst du mit der Lagrangefunktion allein nicht feststellen, es hilft dir nur, Kandidaten für eine Extremstelle zu finden. Ob sie minimale oder maximale Punkte sind, musst du danach untersuchen.
tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »

@Cel:

Hast du einen Link, wo die Lagrangefunktion mal motiviert hergeleitet wird. Und damit meine ich keinen BWL-Link, wo man nur das rechnen erklärt bekommt. In meinen Mathebüchern fällt sie vom "Himmel".

Ich hätte es mir grob so erklärt:

Es liegt ein restringiertes Problem vor [schwer]. Hätte gerne was unrestringiertes, denn da hat man schon notwendige Bedingungen [Gradient=0]. Idee: Baue die Nebenbedingungen in eine Funktion ein.



g sind Ungleichheitsrestriktionen (), h Gleichheitsrestriktionen. Für Randpunkte gilt dann:



Liegen also z.B. nur Gleicheitsrestriktionen vor, so ist das notw. Kriterium erster Ordnung sicher, dass der Gradient der Lagrangefunktion gleich 0 ist Die Multiplikatoren unterliegen keiner Vorzeichenbedingung, die x müssen jedoch zulässig sein. Daher ist es auch egal, ob man es mit + oder - schreibt.

Warte nun erst mal deine Antwort ab, bevor ich mit den Ungleichheitsbedingungen weiter mache.
Cel Auf diesen Beitrag antworten »

Ich muss sagen, dass auch in meinen Quellen die Lagrangefunktion einem vor die Nase gesetzt wird. Im folgenden Buch (S. 230) gibt es eine kleine Motivation, aber ob die jetzt sooo toll ist ...

Deinen Ausführungen würde ich übrigens zustimmen, hört sich stimmig an.
tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »

Den Jarre hatte ich gestern bei google schon mal getroffen. Trifft auch nicht das, was man braucht. Augenzwinkern

Ich lese nach dem Essen noch mal was, um dann meine Ausführungen für Ungleichheitsrestriktionen zu ergänzen. "Offen" ist noch, warum die Multiplikatoren dort nicht negativ sein dürfen. [Also bei den dann erhaltenen KKT-Bedingungen]. Das wird auch einfach nur angegeben und dann benutzt [Farkas-Lemma, Nachweis KKT unter ACQ]

Wink
tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »

Die Literatur sagt nicht, wie die Herren auf KKT gekommen sind. Arbeitet man aber mit dem Stationäritsbegriff unter Restriktionen, so kann man mit Farkas auf die die Nichtnegativität der Multiplikatoren für die aktiven Ungleichungen kommen. Dass man nichtaktive raus nimmt, sowie Zulässigkeit prüft ist irgendwie "stimmig". In den meisten Büchern wird das beim Beweis KKT unter ACQ nachzulesen sein.
 
 
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