Euklidische Metrik

13.12.2010, 18:57

Käseschnitzel

Euklidische Metrik

Meine Frage:
Hallo! smile

ich komme bei folgender Aufgabe nicht weiter, bzw. finde keinen Ansatz:

Sei $\begin{eqnarray*} \mathbb R \end{eqnarray*}$ als metrischer Raum mit der Euklidischen Metrik gewählt:
a) Finden sie ein unendliches System offener Mengen, dessen Durchschnitt nicht offen ist.
b) Finden sie ein unendliches System abgeschlossener Mengen, dessen Vereinigung nicht abgeschlossen ist.

Meine Ideen:
Nunja, ich weiß, dass die euklidische Metrik wie folgt definiert ist:
$\begin{eqnarray*} d(x,y) := \sqrt{\sum\limits_{i=1}^n ((x_{i} - y_{i})^2) } \end{eqnarray*}$
und offen bedeutet: Jedes Element der Menge ist innerer Punkt der Menge.
abgeschlossen bedeutet: Die Menge enthält alle seine Häufungpunkte.
Ich habe schon gegrübelt, aber ich komme nicht dadrauf, wie ich das was ich weiß benutzen kann um so ein System offener/abgeschlossener Mengen zu finden.

Kann mir einer helfen?

13.12.2010, 19:04

system-agent

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RE: Euklidische Metrik

Zitat:

Original von Käseschnitzel
$\begin{eqnarray*} d(x,y) := \sqrt{\sum\limits_{i=1}^n ((x_{i} - y_{i})^2) } \end{eqnarray*}$

Ja, so ist die Metrik auf $\begin{eqnarray*} \mathbb R^n \end{eqnarray*}$ definiert. Du hast hier aber $\begin{eqnarray*} \mathbb R \end{eqnarray*}$ und da hat sie eine viel einfachere Darstellung.

13.12.2010, 19:11

Käseschnitzel

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RE: Euklidische Metrik
das wär dann ja nur:

$\begin{eqnarray*} d(x,y) = \sqrt{ (x_{1} - y_{1})^2 } = | (x_{1} - y_{1}) | \end{eqnarray*}$

oder ist das jetzt mist gewesen?
Wie ich auf System von Mengen komme, scheint mir noch nicht klar zu sein...

13.12.2010, 19:13

system-agent

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Ja. Und das ganze noch ohne diese Indices.

Ist die Menge $\begin{eqnarray*} [0,1] \end{eqnarray*}$ offen oder abgeschlossen?
Für $\begin{eqnarray*} n\in\mathbb N \end{eqnarray*}$ setze die Menge $\begin{eqnarray*} A_n:=\left(\frac{1}{n},1+\frac{1}{n}\right) \end{eqnarray*}$ . Sind die $\begin{eqnarray*} A_n \end{eqnarray*}$ offen oder abgeschlossen?
Weitere Ideen?

13.12.2010, 19:28

Käseschnitzel

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Zitat:

Ist die Menge $\begin{eqnarray*} [0,1] \end{eqnarray*}$ offen oder abgeschlossen??

Also die Menge ist Abgeschlossen.

Zitat:

Für $\begin{eqnarray*} n\in\mathbb N \end{eqnarray*}$ setze die Menge $\begin{eqnarray*} A_n:=\left(\frac{1}{n},1+\frac{1}{n}\right) \end{eqnarray*}$ . Sind die $\begin{eqnarray*} A_n \end{eqnarray*}$ offen oder abgeschlossen??

Also hier würde ich sagen, dass die Menge offen ist, weil 1 bei bel. n immer innerer Punkt ist. Aber da bin ich mir nicht sicher...

Zitat:

Weitere Ideen?

So ganz weiß ich noch nicht wo, du mich hinleiten willst.. unglücklich

13.12.2010, 19:32

system-agent

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Ob die $\begin{eqnarray*} A_n \end{eqnarray*}$ offen sind oder nicht hat garnichts damit zu tun, dass die 1 da drin ist.
Und ja, sie sind offen. Wenn das für dich nicht glasklar ist, dann beweise es.

Wozu ich dir die Mengen genannt habe? Lies dir nochmals die Aufgabenstellung (a) durch.

13.12.2010, 19:46

Käseschnitzel

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So ganz blicke ich da noch nicht durch. Hab es versucht mir grafisch zu veranschaulichen.
Okay, wenn die Menge An offen ist, und ich die verschiedenen An miteinander schneide, nähern sich die Schnittmenge dem Intervall [1], welches abgeschlossen ist.
Scheint mir nicht richtig...

13.12.2010, 19:49

system-agent

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Das ist ja auch Unsinn. Nochmals in Prosa:
Das Intervall $\begin{eqnarray*} A_n \end{eqnarray*}$ ist das offene Intervall mit den Intervallgrenzen $\begin{eqnarray*} \frac{1}{n} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} 1+\frac{1}{n} \end{eqnarray*}$ .

13.12.2010, 19:54

Käseschnitzel

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ja, okay.
Wenn das dann mein System von offenen Mengen ist, muss ich noch zeigen das der Durchschnitt abgeschlossen ist. oder?

13.12.2010, 19:57

system-agent

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Ja, bzw bestimmen was der Durchschnitt ist.

Ich habe aber das Gefühl dass dir garnicht klar ist, dass die $\begin{eqnarray*} A_n \end{eqnarray*}$ offen sind. Wie gesagt, in dem Fall musst du das beweisen. Genauso dass $\begin{eqnarray*} [0,1] \end{eqnarray*}$ abgeschlossen ist.

13.12.2010, 20:07

Käseschnitzel

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Da hast du recht, irgendwie steh ich da grade aufm schlauch..
So ganz weiß ich auch nicht, wie das beweisen kann.. unglücklich

Du hast mir ja jetzt schon praktisch die Intervallgrenzen vorgegeben, das sind keine inneren Punkte, meine Meinung nach...

13.12.2010, 20:14

system-agent

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Da fällt mir auf, ich habe ein kleines Vorzeichen vergessen Forum Kloppe

.

Also ich meinte eigentlich $\begin{eqnarray*} A_n:=\left(-\frac{1}{n},1+\frac{1}{n}\right) \end{eqnarray*}$ . Sorry.

Was muss erfüllt sein, damit eine Menge offen ist? Da gab es etwas mit einer Epsilon-Umgebung pro Punkt...

Damit kannst du beweisen, dass die $\begin{eqnarray*} A_n \end{eqnarray*}$ alle offen sind. Eine Menge heisst per Definitionem abgeschlossen, falls ihr Komplement offen ist. Um also zu zeigen dass $\begin{eqnarray*} [0,1] \end{eqnarray*}$ abgeschlossen ist musst du beweisen, dass $\begin{eqnarray*} (-\infty,0)\cup(1,\infty) \end{eqnarray*}$ offen ist. Das geht natürlich wie bei den $\begin{eqnarray*} A_n \end{eqnarray*}$ auch.

Um das alle zu tun, schreibe dir die betreffenden Definitionen mal ordentlich auf und überlege dann ein bischen.

13.12.2010, 20:22

Käseschnitzel

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Alles klar, dankeschön für deine Mühen smile

Dann werd ich mal ransetzen und versuchen, das alles nachzuweisen.
ah, und da fällt mir auf, dass ich glaub ich ganze zeit die Fragestellung falsch verstanden habe. Die lautet bei a) ja, das durchschnitt der offenen Mengen NICHT OFFEN sein soll. Das bedeutet ja nicht zwingend, dass der Durchschnitt abgeschlossen ist. Hab ich recht?

13.12.2010, 20:24

system-agent

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Ja, du hast Recht. In meinem Beispiel läuft es aber dann darauf hinaus, dass der Schnitt abgeschlossen ist.

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