Identität aus der numerischen Optimierung

13.12.2010, 20:03

b_o_g

Identität aus der numerischen Optimierung

Meine Frage:
Ich muss folgende Identität beweisen:

$\begin{eqnarray*} $(A + UCV)^{-1} = A^{-1} - A^{-1}U(C^{-1} + VA^{-1}U)^{-1}VA^{-1}$ \end{eqnarray*}$

wobei A,C und das in der großen Klammer rechts invertierbar sind, A ist nXn, U nXk, C kXk und V kXn.

Meine Ideen:
Ich habe Assoziativität und das Distributivgesetz ausgenutzt und durch Ausmultiplizieren das Meiste weggekriegt, doch am Ende steht bei mir
$\begin{eqnarray*} $ UV^{2}U - UVUV = 0$ \end{eqnarray*}$ .
Weder U noch V sind invertierbar. Krieg ich das irgendwie weg oder muss ich anders an die Sache rangehen?

14.12.2010, 21:14

Reksilat

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RE: Identität aus der numerischen Optimierung
Was soll denn $\begin{eqnarray*} V^2 \end{eqnarray*}$ sein, wenn $\begin{eqnarray*} V \end{eqnarray*}$ eine $\begin{eqnarray*} k\times n \end{eqnarray*}$ - Matrix ist?
Dein bisheriger Rechenweg wäre ganz hilfreich, denn die Aufgabe sieht nicht so aus, als könnte ich sie innerhalb von fünf Minuten einfach mal so lösen. Augenzwinkern

Gruß,
Reksilat.

15.12.2010, 15:03

b_o_g

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Hm, stimmt. Ich hab mich noch nicht so ganz daran gewöhnt, dass für Matrizen viele Operationen nicht definiert sind. Ich hab folgendes gemacht:

[latex] $*(A+UCV) \rightarrow I = (A+UCV)(A^-1 - A^-1 U (C^-1 + VA^-1 U )^-1 va^-1$ [\latex]

Dann hab ich die Distributivität ausgenutzt und I abgezogen:

[latex] $ 0 = UCVA^-1 - U(C^-1 + VA^-1 U)^-1 VA^-1 - UCVA^-1 V(C^-1 + VA^-1 U)^-1 VA^-1$ [\latex]

Dann habe ich mit dem in der Klammer malgenommen:

[latex] $0 = UCVA^-1 (C^-1 + VA^-1 U) - UVA^-1 + UCVA^-1 UVA^-1 $ [\latex]

Wenn ich jetzt ausmultipliziere, krieg ich das UVA^-1 weg, aber beim anderen habe ich einmal VAU und einmal UVA. Das, was ich vorher hingeschrieben habe, kriegt man raus, wenn man die erste Matrix rechts statt links anmultipliziert. Aber im Hinweis steht, dass die erste Gleichung oben verwendet werden sollte. Der Fehler muss also danach liegen.

15.12.2010, 15:07

b_o_g

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Hm, stimmt. Ich hab mich noch nicht so ganz daran gewöhnt, dass für Matrizen viele Operationen nicht definiert sind. Ich hab folgendes gemacht:

$\begin{eqnarray*} $*(A+UCV) \rightarrow I = (A+UCV)(A^{-1} - A^{-1} U (C^{-1} + VA^{-1} U )^{-1} VA^{-1}$ \end{eqnarray*}$

Dann hab ich die Distributivität ausgenutzt und I abgezogen:

$\begin{eqnarray*} $ 0 = UCVA^{-1} - U(C^{-1} + VA^{-1} U)^{-1} VA^{-1} - UCVA^{-1} V(C^{-1} + VA^{-1} U)^{-1} VA^{-1}$ \end{eqnarray*}$

Dann habe ich mit dem in der Klammer malgenommen:

$\begin{eqnarray*} $0 = UCVA^{-1} (C^{-1} + VA^{-1} U) - UVA^{-1} + UCVA^{-1} UVA^{-1} $ \end{eqnarray*}$

Wenn ich jetzt ausmultipliziere, krieg ich das UVA^-1 weg, aber beim anderen habe ich einmal VAU und einmal UVA. Das, was ich vorher hingeschrieben habe, kriegt man raus, wenn man die erste Matrix rechts statt links anmultipliziert. Aber im Hinweis steht, dass die erste Gleichung oben verwendet werden sollte. Der Fehler muss also danach liegen.

15.12.2010, 16:24

Reksilat

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Du bist also von der Voraussetzung ausgegangen und formst diese nun um. Dieses Vorgehen ist natürlich kein gültiger Beweis, denn aus etwas falschem kann man auch immer etwas wahres folgern. Letztlich musst Du für den formal richtigen Beweis jeden dieser Schritte in die umgekehrte Richtung gehen - denke immer daran.

Zitat:

Dann habe ich mit dem in der Klammer malgenommen:

Der Ausdruck $\begin{eqnarray*} (C^{-1}-VA^{-1}U)^{-1} \end{eqnarray*}$ steht irgendwo zwischen lauter anderen Matrizen; den kannst Du auf keinen Fall direkt rauskürzen.

Außerdem muss im letzten Summanden an fünfter Stelle U statt V stehen.

Nimm bei der Gleichung

(i): $\begin{eqnarray*} $ 0 = UCVA^{-1} - U(C^{-1} + VA^{-1} U)^{-1} VA^{-1} - UCVA^{-1} U(C^{-1} + VA^{-1} U)^{-1} VA^{-1}$ \end{eqnarray*}$

von links das $\begin{eqnarray*} U \end{eqnarray*}$ und von rechts das $\begin{eqnarray*} VA^{-1} \end{eqnarray*}$ weg, dann erhältst Du:

(ii): $\begin{eqnarray*} $ 0 = C - (C^{-1} + VA^{-1} U)^{-1} - CVA^{-1}U(C^{-1} + VA^{-1} U)^{-1} $ \end{eqnarray*}$

Natürlich folgt aus der Gültigkeit von (i) nicht die Gültigkeit von (ii), aber wie ich ja auch oben geschrieben habe, interessiert uns das gar nicht. Der Beweis soll ja am Ende andersherum aufgeschrieben werden. D.h. wenn Du alles aufschreibst, fängst Du mit einer richtigen Aussage (z.B. I=I) an und formst diese so lange um, bis die Behauptung dasteht.

Im endgültigen Beweis musst Du also aus der Gültigkeit von (ii) die Gültigkeit von (i) folgern und das geht offenbar.

Nun ist es auch nicht mehr so schwer zu zeigen, dass (ii) äquivalent zur wahren Aussage 0=0 ist.

15.12.2010, 17:16

b_o_g

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Ich verstehe. Im Hinweg kann man auch nicht-invertierbare Matrizen wegnehmen, weil beim Rückweg normale Matrizen multipliziert werden. Das muss ich mir merken. Vielen Dank für die Hilfe. Freude

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