Beweis: Ungleichung

13.12.2010, 20:29

allahahbarpingok

Beweis: Ungleichung

Elow,

ich bins nochmal mit folgender Aufgabe:

Es sei n aus IN, L>1 und I>0, sodass L = 1+I

Beweisen Sie, dass $\begin{eqnarray*} L^{n} = (1+I)^{n}\geq \frac{n*(n-1)}{2}*I^2 \end{eqnarray*}$
und zeigen Sie damit, $\begin{eqnarray*} \lim_{n \to unendlich} \frac{n}{L^n}=0 \end{eqnarray*}$ gilt.

Ich hatte zwei Ideen: Man beweist die erste ungleichung mit dem binomischen Satz oder per Induktion über n. Das mit dem binomischen Satz hat nicht ganz so geklappt unglücklich

, deswegen mach ich es jetzt mal per Induktion. Dann habe ich also bewiesen:
$\begin{eqnarray*} L^{n} = (1+I)^{n}\geq \frac{n*(n-1)}{2}*I^2 \end{eqnarray*}$

Jetzt verwende ich den zweiten Term und beweise wieder per Induktion, dass dieser >= ist, als n, d.h. $\begin{eqnarray*} \frac{n*(n-1)}{2}*I^2\geq n \end{eqnarray*}$ Dann habe ich also gefolgert, dass $\begin{eqnarray*} L^{n} = (1+I)^{n}\geq n \end{eqnarray*}$ Jetzt müsste man noch den Fall betrachten wenn es = ist. Sonst ist es klar: $\begin{eqnarray*} L^{n} \end{eqnarray*}$ wächst schneller als n und damit ist der Grenzwert 0. Sry für so viel Text, aber ist das ein guter Ansatz? smile

13.12.2010, 21:19

tohuwabou

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RE: Beweis: Ungleichung
Die erste Ungleichung könnte man so mit dem Binomischen Lehrsatz zeigen :

$\begin{eqnarray*} (1+I)^n=\sum_{i=0}^{n} \binom n i I^i = \binom n 0 1+\binom n 1 I +\binom n 2 I^2 + ... + I^n \ge \binom n 2 I^2 = \frac{n(n-1)}{2}I^2 \end{eqnarray*}$

Edit : Gilt nur für $\begin{eqnarray*} n \ge 2 \end{eqnarray*}$ , für $\begin{eqnarray*} n=1 \end{eqnarray*}$ gesondert : $\begin{eqnarray*} (1+I) > 0 \end{eqnarray*}$ , Ok

Deine Idee erscheint mir richtg , wenn du das mit dem größer n gezeigt bekommst, wobei ich da noch nicht sicher bin, da wenn das I ziemlich klein ist, es schwierig ist , oder?

Für hinreichend großes n haut es dann wohl hin, denke ich.

13.12.2010, 21:43

allahahbarpingok

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Naja die Induktion funktioniert nicht ganz so, wie gewollt. Das Problem ergibt sich beim Beweis. Man kann die Ungleichung nicht abschätzen wie gewollt. Bei n=1 ergibts sich das Problem. Ich weiß nicht woran es liegt :p, vielleicht habe ich ein riesen Brett vorm Kopf. Ich schaue mir mal deinen Post an und versuche es mit dem binomischen Satz.

Ach, um nicht für verwirrung zu sorgen, der griechische Buchstabe "Delta" bei mir, ist das, was hier "I" ist.

14.12.2010, 09:06

klarsoweit

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Zitat:

Original von allahahbarpingok
Naja die Induktion funktioniert nicht ganz so, wie gewollt. Das Problem ergibt sich beim Beweis. Man kann die Ungleichung nicht abschätzen wie gewollt.

Manchmal muß man eben mehr zeigen als benötigt. Augenzwinkern

Die Ungleichung $\begin{eqnarray*} (1+I)^n \geq 1 + n \cdot I + \frac{n(n-1)}{2}I^2 \end{eqnarray*}$ läßt sich ganz leicht mit vollständiger Induktion zeigen.

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