Wurzel- und Quotientenkriterium

13.12.2010, 20:42

OléoLé

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Wurzel- und Quotientenkriterium

Meine Frage:
Hallo!
Ich habe hier eine Aufgabe mit mehreren Teilaufgaben (deswegen wäre es für mich wichtig, ein Musterbeispiel zu haben...) und ich bin mir nicht sicher, ob ich das so richtig mache wie ich das mache...
also die Aufgabe ist:
Ich soll die gegebenen Reihen mit Quotienten- und Wurzelkriterium untersuchen und dann sagen, bei welchen Reihen sich was mit dem Quotienten- und/oder Wurzelkriterium über Konvergenz/Divergenz aussagen lässt.
Die erste Reihe ist dann:
$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{n=1}^\infty \frac{1}{n^{3} } \end{eqnarray*}$

Meine Ideen:
Folgendes hab ich gemacht:
Ich habe versucht das Wurzelkriterium anzuwenden:
$\begin{eqnarray*} \sqrt[n]{| \frac{1}{n^{3} } | } = \left(\frac{1}{n^{3} } \right)^{\frac{1}{n} } \end{eqnarray*}$
ja, und jetzt würde ich ja sagen, 1/n geht gegen 0 und somit geht $\begin{eqnarray*} \left(\frac{1}{n^{3} } \right)^{\frac{1}{n} } \end{eqnarray*}$ gegen 1
--> Das würde dann bedeuten, dass das Wurzelkriterium nicht anwendbar ist, da 1 NICHT echt kleiner 1 ist...

Soweit erstmal- kann ich das so machen und stimmt das?!

Ich bedanke mich schonmal jetzt und hoffe auf Hilfe!

13.12.2010, 21:03

Iorek

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Ja, das Wurzelkriterium liefert dir bei dieser Reihe keine Aussage über das Konvergenzverhalten (übrigens ist das für alle Reihen $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{n=1}^\infty \frac 1{n^\alpha} \end{eqnarray*}$ , die allgemeine harmonische Reihe der Fall).

13.12.2010, 21:18

OléoLé

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Okay, danke, prima- dann sollte ich da schon mal theoretisch wissen wie das geht- für die anderen Aufgaben...

vielleicht kann ich dann jetzt nochmal meine Quotientenkriteriumrechnung präsentieren...:

zu prüfen: $\begin{eqnarray*} a_{n} \neq 0 \forall n\in \mathbb N \end{eqnarray*}$ --> ist offensichtlich erfüllt.

zu prüfen, ob $\begin{eqnarray*} limsup \frac{a_{n+1} }{a_{n} } < 1 \end{eqnarray*}$ gilt.
Also:
$\begin{eqnarray*} <br /> | \frac{\frac{1}{(n+1)^{3} } }{\frac{1}{n^{3} } } | = | \frac{1}{(n+1)^{3}} \cdot n^{3} | = | \frac{n^{3}}{(n+1)^{3}} | = | \frac{n^{3}}{(n^{3}+3n^{2}+3n+n^{3})} | = | \frac{n^{3}}{2n^{3}+3n^{2}+3n} | = | \frac{n^{3}}{n^{3}\cdot (2+\frac{3}{n}+\frac{3}{n^{2}} )} | = | \frac{1}{2+\frac{3}{n}+\frac{3}{n^{2}} } | \end{eqnarray*}$

Und wenn dann die n gegen unendlich gehen, kommt da 1/2 raus, was <1 ist. Somit konvergiert die Reihe (absolut).

Oder? Freude

Freude

oder

unglücklich

- das ist hier die Frage!

13.12.2010, 21:19

Iorek

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Zitat:

Original von OléoLé
$\begin{eqnarray*} <br /> | \frac{\frac{1}{(n+1)^{3} } }{\frac{1}{n^{3} } } | = | \frac{1}{(n+1)^{3}} \cdot n^{3} | = | \frac{n^{3}}{(n+1)^{3}} | = | \frac{n^{3}}{(n^{3}+3n^{2}+3n+n^{3})} | \end{eqnarray*}$

Du hast falsch ausmultipliziert, der letzte Summand im Nenner ist nicht $\begin{eqnarray*} n^3 \end{eqnarray*}$ .

13.12.2010, 21:32

OléoLé

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Ohja richtig... da steht eine 1... vielen Dank!!

Also dann:
$\begin{eqnarray*} | \frac{n^{3}}{n^{3} \cdot (1+\frac{3}{n} + \frac{3}{n^{2}} + \frac{1}{n^{3}} )} | = | \frac{1}{(1+\frac{3}{n} + \frac{3}{n^{2}} + \frac{1}{n^{3}})} | \end{eqnarray*}$

Und schwupps-di-wupps ändert sich das Ergebnis... Der Grenzwert ist dann 1 - und das ist wiederum nicht echt kleiner 1. Also liefert auch das Quotientenkriterium keine Aussage?!

13.12.2010, 21:33

Iorek

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Ja, bei den allgemeinen harmonischen Reihen versagen sowohl Quotienten- als auch Wurzelkriterium.

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13.12.2010, 21:34

OléoLé

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Sehr schön! Augenzwinkern

Augenzwinkern

Dankesehr- ich hoffe den Rest bekomme ich dann jetzt hin!

13.12.2010, 21:37

Iorek

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Falls du dich für den Konvergenznachweis interessierst, solltest du dir mal das Cauchysche Verdichtungskriterium angucken. Augenzwinkern

Augenzwinkern

13.12.2010, 21:44

OléoLé

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Aha, danke, das guck ich mir dann mal bei Gelegenheit an- wenn ich wieder Zeit hab... Augenzwinkern

Augenzwinkern

Aber das ist leider (oder auch nicht leider?!) keine meiner Folgeaufgaben! smile

smile

13.12.2010, 21:51

OléoLé

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Ich hätte dann vielleicht doch nochmal eine Frage... smile

smile

Und zwar habe ich jetzt bei einer anderen Folge da stehen (zum Wurzelkriterium):
$\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty } (\frac{n^{3}}{3^{n}})^{\frac{1}{n} } \end{eqnarray*}$
Da da wieder als Exponent 1/n steht und der wieder gegen 0 geht, müsste doch wieder 1 rauskommen, oder? Weil alles, was man hoch 0 rechnet doch 1 ergibt...?!

13.12.2010, 21:59

Iorek

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Nein, hier kommt nicht 1 raus; du kannst hier nicht einfach nur den Exponenten betrachten sondern solltest vielleicht etwas umformen und Potenzregeln verwenden.

13.12.2010, 22:13

OléoLé

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Hm, dann hab ich das jetzt so:

$\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty } (\frac{n^{3}}{3^{n}})^{\frac{1}{n} } \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} = lim \frac{(n^{3})^{\frac{1}{n} }}{(3^{n})^{\frac{1}{n} } } = lim \frac{(n^{3})^{\frac{1}{n} }}{3} = \frac{1}{3} <br /> \end{eqnarray*}$

Also konvergiert die Reihe (absolut).

Geht das so? Oder darf ich da auch noch nicht 1/n gegen 0 gehen lassen...?
Wann darf ich das denn? Wenn ich nichts mehr umformen kann sozusagen...?

13.12.2010, 22:15

OléoLé

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Okay, also das Ergebnis hab ich mir soeben mit dem Quotientenkriterium bestätigt...

13.12.2010, 22:15

Iorek

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Ich würde es noch etwas weiter umformen: $\begin{eqnarray*} \sqrt[n]{n^3}=\sqrt[n] n\cdot\sqrt[n] n\cdot\sqrt[n]n \end{eqnarray*}$ , jetzt kannst du einen (wie ich vermute) bekannten Grenzwert anwenden.

13.12.2010, 22:24

OléoLé

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Ja, dass der Grenzwert 1 ist, haben wir schonmal gezeigt! Augenzwinkern

Augenzwinkern

Also, versuch ich das immer soweit wie möglich zu vereinfachen/umzuformen, bevor ich gegen unendlich gehen lasse?! Eigentlich wie immer- so viel wie möglich vereinfachen... smile

smile

Gut, dankeschön!!

13.12.2010, 22:28

Iorek

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Im Prinzip ja, allerdings gibt es auch hier einige Sachen die man beachten sollte, vor allem bei der Anwendung der Grenzwertsätze.

Ein beliebter Fehler (den ich auch mal gemacht habe): es gilt zwar $\begin{eqnarray*} \lim\limits_{n\to\infty}{a_n+b_n}=\lim\limits_{n\to\infty} a_n + \lim\limits_{n\to\infty} b_n \end{eqnarray*}$ falls beide Folgen konvergieren, allerdings ist das nur für endlich viele anzuwenden. So ist z.b. $\begin{eqnarray*} \lim\limits_{n\to\infty} \sum\limits_{n=1}^\infty=\lim\limits_{n\to\infty} \underbrace{\frac 1n}_{\rightarrow 0} + \underbrace{\frac 1n}_{\rightarrow 0} + \dots + \underbrace{\frac 1n}_{\rightarrow 0}=0+0+\dots + 0 =0 \end{eqnarray*}$ offensichtlich falsch.

13.12.2010, 22:38

OléoLé

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Okay, dankesehr nochmal für diesen Hinweis! Augenzwinkern

Augenzwinkern

Dann hätte ich gerad noch eine kleine Frage auf Lager...
Der Wert, den ich jetzt rausbekomme beim Wurzel-bzw. Quotientenkriterium, der <1 ist- ist der dann auch gleichzeitig der Grenzwert der Reihe?!

(Und demzufolge: Kommt sind die Grenzwerte, die beim Wurzel-und Quotientenkriterium rauskommen immer identisch? )

Das ist dann auch mit Sicherheit (man soll nie nie sagen...) meine letzte Frage!

13.12.2010, 22:41

Iorek

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Nein, der Wert gibt dir nur Informationen über Konvergenz/Divergenz (wär auch zu schön, wenn es so eine einfache Methode gäb den Reihenwert zu berechnen...)

13.12.2010, 22:43

OléoLé

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OKay,
also ist das auch nur Zufall, wenn beim Wurzel- und Quotienkriterium der selbe Wert rauskommt oder ist der trotzdem immer gleich (auch wenn er nicht der Grenzwert der Folge ist)...?!

(Das zählt nicht als weitere Frage- nur als Nachfrage, ne!?! Augenzwinkern

Augenzwinkern

)

13.12.2010, 22:47

Iorek

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Die (Nachf-)Frage versteh ich nicht ganz...

Was soll Zufall sein?

13.12.2010, 23:01

OléoLé

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Naja, bei meinen Beispielen, die ich hier bearbeiten musste, kam mit dem Wurzelkriterium und dem Quotientenkriterium der gleiche Grenzwert für die Folge raus, die ich da jeweils betrachtet hab...

Also für den lim der n-ten Wurzel aus a_n
und für den lim von a_n+1/a_n...

war das nur zufall oder "muss" das so?! smile

smile

13.12.2010, 23:05

Iorek

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Das muss nicht immer so sein; es gibt durchaus Reihen wo das Quotientenkriterium keine Aussage über die Konvergenz liefert (du also am Ende 1 da stehen hast), das Wurzelkriterium hingegen funktioniert; das Wurzelkriterium ist allgemein schärfer als das Quotientenkriterium.

13.12.2010, 23:12

OléoLé

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Ja, okay,
und wie ist das, wenn beide einen Wert unter 1 liefern- dann müssen die trotzdem nicht gleich sein, schließe ich daraus...?!

13.12.2010, 23:14

Iorek

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Da fällt mir spontan nichts zu ein, tut mir leid, wenn da einer was schönes zu hat, darf er das gerne übernehmen. smile

smile

13.12.2010, 23:17

OléoLé

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okay, trotzdem nochmal vielen Dank für die viiiele Mühe und die viiiielen Antworten auf meine vielen Fragen! smile

smile

Vielleicht ist das ja dann auch gar nicht so wichtig... Augenzwinkern

Augenzwinkern

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