Funktion differenzierbar f-> x^x

13.12.2010, 22:08	Alfred2006	Auf diesen Beitrag antworten »
Funktion differenzierbar f-> x^x Meine Frage: Hallo. habe ein Problem bei folgender Aufgabenstellung Begründe die differenzierbarkeit von $\begin{eqnarray} \mathbb R+-> \mathbb R ; f-> x^{x} \end{eqnarray}$ Meine Ideen: Also habs probiert. Zuerst Ableitung machen. Dazu erstmal Erweitern mit e^ln(x) Dann zieh ich die exponenten auseinander. Ich erhalte dann e^xe^ln(x) . Ich wende dann die Produktregel an. Bekomm für die Ableitung somit e^x(ln(x)+1) raus. Für die diff.barkeit muss ich doch jetz die Definitionslücken raussuchen und dann feststellen wie sich das Ding an der Stelle verhält. in dem Fall ist die Definitionslücke doch bei "e" da ln(x)+1=0 Wenn das so richtig ist dann würd ich $\begin{eqnarray} \lim_{x \to e} \end{eqnarray*}$ versuchen und schaun wie sich die Funktion bei links und rechtsseitiger annäherung verhält. Aber irgendwie bin ich mir da ned sicher ob meine Vorgehensweise und meine Rechnerei richtig ist. Kann mir da evtl jemand helfen?
13.12.2010, 22:14	Helferlein	Auf diesen Beitrag antworten »
Wenn Du die Ableitungen bildest, setzt Du die Differenzierbarkeit bereits voraus. Abgesehen davon ist $\begin{eqnarray} ln(e)+1=1+1=2 \end{eqnarray}$ . Ich würde es eher mit dem Satz über Summe, Produkt und Verkettung von differenzierbaren Funktionen angehen.
13.12.2010, 22:18	MI	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Funktion differenzierbar f-> x^x Zudem hast du dich bei der Ableitung verrechnet. Die Logarithmen- und Exponentialfunktionsregeln sind nicht richtig angewandt worden. Gruß MI
14.12.2010, 10:05	Alfred2006	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Funktion differenzierbar f-> x^x o.k. das heißt also ich fang nochmal von vorn an! ich würd die funktion dennoch mit e^ln(x) erweitern. also $\begin{eqnarray} f(x)=e^{ln(x)^x} \end{eqnarray}$ per def. gilt x>0 wenn ich die dann auseinanderziehe dann sehe ich, dass die funktion keine def. lücke im R+ aufweist! e^x sowie e^{ln(x} und darauf lässt sich dann diffbarkeit begründen?! Argumentieren würde ich wie folgt: Kettenregel besagt, dass wenn die Funktion $\begin{eqnarray} f(x)=e^{ln(x)^x} \end{eqnarray}$ eine Verkettung von diffbaren Funktionen ist (e^x sowie e^{ln(x}) dann folgt daraus diffbarkeit der "verketteten Funktion" wenigstens Ansatzweise?
14.12.2010, 12:04	Helferlein	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich würde die Verkettung noch genauer benennen(Welche Funktionen wurden miteinander verkettet?), aber ansonsten sollte es das sein. $\begin{eqnarray} f(x)=x^x=e^{xln(x)} \end{eqnarray}$
14.12.2010, 13:18	Alfred2006	Auf diesen Beitrag antworten »
o.k. Thx :-))
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