vollständige Induktion die zweite

13.12.2010, 22:12

rolfl

vollständige Induktion die zweite

Hi, ich habe folgende Gleichung gegeben, die ich durch Induktion lösen soll.

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{i=1}^n (n^{2} - n -1 + 2i) = n^{3} \end{eqnarray*}$

Am Ende muss ich bewiesen haben, dass n -> n+1 gilt.

Ich habe die üblichen Schritte ausgeführt, die man bei der vollst. Induktion durchgeht und komme zu einem Zwischenergebnis:

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{i=1}^{n+1} (n^{2} - n -1 + 2i) = \sum\limits_{i=1}^n (n^{2} - n -1 + 2i) + \sum\limits_{i=1}^{n+1} ((n+1)^{2} - (n+1) -1 + 2(n+1)) \end{eqnarray*}$

wenn ich das dann wiederum ausrechne bekomme ich als Ergebnis heraus:

$\begin{eqnarray*} n^{3} + ( (n+1)^{2} - (n+1) -1 + 2(n+1)) \end{eqnarray*}$

vereinfacht:

$\begin{eqnarray*} n^{3} + n^{2} + 3n + 1 \end{eqnarray*}$

von obiger Zeile müsste ich durch umformen doch eigentlich auf das folgende Ergebnis gelanden (siehe unten), ich weiß aber nicht, wie ich von meinem Ergebnis auf dieses hier kommen soll:

(so solls aussehen am Ende als Beweis). Kann mir jemand dabei helfen verwirrt

$\begin{eqnarray*} (n+1)^{3} = n^{3} + 3n^{2} + 3n +1 \end{eqnarray*}$

edith: habe ich schon drüber nachgedacht, ob ich beim Einsetzten etwas falsch gemacht habe, dass ich die "n"s nicht ersetzten sollte.... sondern nur das "i"... komm aber irgendwie auf keinen grünen zweig.

13.12.2010, 22:25

Helferlein

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Also am einfachsten wäre es wohl die konstanten Summanden aus der Summe zu ziehen, so dass sich die eigentliche Induktion nur auf $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{i=1}^n 2i \end{eqnarray*}$ bezieht.

Sollte das nicht zulässig sein, müsstes Du mit
$\begin{eqnarray*} f(n+1)=\sum\limits_{i=1}^{n+1} ((n+1)^2-(n+1)-1+2i) \end{eqnarray*}$
beginnen und in diesem Term die Binomische Formel anwenden, um den Term für f(n) einzubringen.

13.12.2010, 22:33

rolfl

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Die erste von dir vorgeschlagene Lösung ist denke ich nicht zulässig. Die Aufgabe davor hieß nämlich schon so, aber mit 2i = (n^2) + n

Ich verstehe nicht, wie du das meinst, dass ich die Binomische Formel dadrauf anwenden soll. Stehe grade auf dem Schlauch unglücklich

( ich sehe da gar nichts, was ich binomisch umändern könnte... oO)

13.12.2010, 22:34

Helferlein

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na $\begin{eqnarray*} (n+1)^2 \end{eqnarray*}$ ist doch wohl eine binomische formel, oder nicht? Augenzwinkern

13.12.2010, 22:37

rolfl

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Das hab ich ja schon gemacht. Dafür kam $\begin{eqnarray*} n^{2} + 2n + 1 - n -1 -1 + 2n + 2 \end{eqnarray*}$ heraus. Aber wenn ich das vereinfache zun n^2 +3n +1 bin ich immer noch ziemlich weit entfernt von dem , wo ich eigentlich hin will >_>? Das is ja gerade mein Problem.

so hab ichs bisher $\begin{eqnarray*} n^{3} + n^{2} + 3n + 1 \end{eqnarray*}$

und so solls mal aussehen. $\begin{eqnarray*} n^{3} + 3n^{2} + 3n +1 \end{eqnarray*}$

aber wie ich das machen soll, das weiß ich nicht.

14.12.2010, 00:36

Helferlein

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Die 2n+2 in deiner Formel kann ich grad nicht nachvollziehen, der erste Teil sieht schonmal nicht schlecht aus.

Es geht ja zunächst erstmal darum, den Term hinter dem Summenzeichen auf eine Form zu bringen, die einen Zusammenhang zu f(n) herstellt. Es wird ein Rest übrigbleiben, welcher zusammen mit der Induktionsvoraussetzung ( $\begin{eqnarray*} f(n)=n^3 \end{eqnarray*}$ ) dann $\begin{eqnarray*} (n+1)^3 \end{eqnarray*}$ ergibt. Rechne also zunächst einmal nur den Term (ohne Einsetzen von i) aus und spalte dann den (n+1).Summanden aus der Summe ab.

14.12.2010, 09:30

rolfl

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So ist mein Status bis jetzt

http://saved.im/mty0nzmyzzh1/zwisschenerggb.png

Kann mir das jemand weiterführen und den Weg zur Lösung posten, das wäre nett. Ich komm dort nicht mehr weiter.

14.12.2010, 09:51

klarsoweit

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RE: vollständige Induktion die zweite

Zitat:

Original von rolfl
Hi, ich habe folgende Gleichung gegeben, die ich durch Induktion lösen soll.

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{i=1}^n (n^{2} - n -1 + 2i) = n^{3} \end{eqnarray*}$

Am Ende muss ich bewiesen haben, dass n -> n+1 gilt.

Ich habe die üblichen Schritte ausgeführt, die man bei der vollst. Induktion durchgeht und komme zu einem Zwischenergebnis:

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{i=1}^{n+1} (n^{2} - n -1 + 2i) \end{eqnarray*}$

An der Stelle hapert es doch schon. Du mußt alle n durch (n+1) ersetzen. Du hast das aber nur in der Summengrenze gemacht.

14.12.2010, 19:48

rolfl

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RE: vollständige Induktion die zweite
ich habs jetzt nochmal durchgerechnet... stimmt das so? was muss ich mit dem i machen?

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{i=1}^n (n^{2} - n -1 + 2i) + ((n+1)^{2} - (n+1) -1 + 2i) = n^{3} + ((n+1)^{2} - (n+1) - 1 + 2i) \end{eqnarray*}$

bitte bitte helft mir traurig

wenns nicht stimmt, gebt mir bitte den richtigen ansatz unglücklich

14.12.2010, 21:05

Helferlein

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Wie ich oben schon schrieb, musst Du von f(n+1) ausgehen:

$\begin{eqnarray*} f(n+1)=\sum\limits_{i=1}^{n+1} ((n+1)^2-(n+1)-1+2i) <br /> = ((n+1)^2-(n+1)-1+2(n+1)) + \sum\limits_{i=1}^{n} ((n+1)^2-(n+1)-1+2i) \end{eqnarray*}$

Jetzt meinen Hinweis mit der binomischen Formel in beiden Termen umsetzen und die hintere Summe so umformen, dass sich $\begin{eqnarray*} f(n)=\sum\limits_{i=1}^{n} (n^2-n-1+2i) \end{eqnarray*}$ darin wiederfindet.

15.12.2010, 09:02

klarsoweit

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RE: vollständige Induktion die zweite

Zitat:

Original von rolfl
bitte bitte helft mir traurig

wenns nicht stimmt, gebt mir bitte den richtigen ansatz unglücklich

Das habe ich getan, aber du hast dich nicht daran gehalten. Ich wiederhole mich nochmal:

Du mußt in $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{i=1}^n (n^{2} - n -1 + 2i) \end{eqnarray*}$ jedes n, aber wirklich auch jedes n durch (n+1) ersetzen. Dann kommst du auf das, was Helferlein geschrieben hat.

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