Rechnen mit Unterräumen

14.12.2010, 04:37	Mathnoob2010	Auf diesen Beitrag antworten »
Rechnen mit Unterräumen Meine Frage: Ich habe zwei Unterräume von R^n gegeben U und V, und ich soll beweisen welche Kombinationen der beide durch unterschiedlichste Operatoren wieder Unterräume sind. Die genaue Aufgabenstellung ist als Bild angehängt. Wichtig wäre mir einfach zu erfahren wie man mit Unterräumen genau umgehen muss, ob man einfach immer nur die Bedingungen für einen Unterraum überprüfen muss oder ob es da noch andere Wege gibt. Meine Ideen: Bei den ersten beiden würde ich einfach mit einem graphischen Ansatz vermuten, da ja beide Unterräume in R^n liegen, dass natürlich auch deren Schnittmenge bzw deren Vereinigung in R^n liegen, ich hab aber leider aus relativ sicherer Quelle erfahren, dass 2. falsch sei!
14.12.2010, 08:34	Mazze	Auf diesen Beitrag antworten »
Also, überprüfe doch einfach mal die Unterraumkriterien für diese Fälle, dann solltest Du sehen, an welchen Stellen das Ganze schiefgeht oder nicht. Ansonsten : 1) ist richtig, wie Du schon sagst, 2) ist nur unter bestimmten Bedingungen an U und V richtig, im Allgemeinen aber falsch.
14.12.2010, 08:35	system-agent	Auf diesen Beitrag antworten »
Diese Mengen liegen sicher wieder in $\begin{eqnarray} \mathbb R^n \end{eqnarray}$ , das sollte sowieso klar sein. Um die Frage zu beantworten ob das Unterräume sind, musst du schon die Unterraumaxiome überprüfen. Edit: Zu spät.
14.12.2010, 09:03	Mathnoob2010	Auf diesen Beitrag antworten »
Mit gegebenen Unterräumen würde ich das jetzt glaub ich können aber ich weiß nicht wie ich dass alles nur mit variablen machen soll bei 3.-6.
14.12.2010, 09:09	Mazze	Auf diesen Beitrag antworten »
Du benutzt die Eigenschaften der Unterräume U und V, etwa für den Durchschnitt : Seien $\begin{eqnarray} w_1,w_2 \in U \cap V \end{eqnarray}$ , dann soll auch $\begin{eqnarray} w_1 + w_2 \in U \cap V \end{eqnarray}$ sein. Wegen $\begin{eqnarray} w_1,w_2 \in U \cap V \end{eqnarray}$ gilt natürlich $\begin{eqnarray} w_1 \in U, w_2 \in U \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} w_1 \in V,w_2 \in V \end{eqnarray}$ . Da U und V Unterräume sind folgt $\begin{eqnarray} w_1 + w_2 \in U \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} w_1 + w_2 \in V \end{eqnarray}$ und damit $\begin{eqnarray} w_1 + w_2 \in U \cap V \end{eqnarray}$ , was zu zeigen war. So kann mans machen, insbesondere wirst Du bei den Fällen wo es nicht gilt an den entsrpechenden Stellen überlegen müssen , warum es nicht geht. edit : Es ist immer Hilfreich, zu schauen, ob der Nullvektor drin liegt. In einem der 6 ist er es nämlich nicht, und damit fällt sofort die Eigenschaft Unterraum weg.
14.12.2010, 09:38	23und42	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich hab zwar nicht direkt mit den Aufgaben zutun, aber rein interessehalber würde mich interessieren, wie denn dann die Aufgaben 3 - 6 zu behandeln sind. Danke und Grüße 23und42
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