Vektoren: Berechnen von Flächeninhalt (Dreieck)

14.12.2010, 10:58

Elias166

Vektoren: Berechnen von Flächeninhalt (Dreieck)

Meine Frage:
Ich lerne schon seit einigen Tagen nun bin ich auf eine Aufgabe gestoßen, die ich leider nicht lösen kann... Die Aufgabe lautet:

Bestimme den Flächeninhalt des Dreiecks ABC.

A(-1|2|0) B(1|2|4) C(-1|-3|5)

Meine Ideen:
Wir haben im Buch 2 Formeln zur Ermittlung des Flächeninhaltes:

1) $\begin{eqnarray*} \frac{1}{2}|AB||AC|\sin(\alpha) \end{eqnarray*}$

2) $\begin{eqnarray*} \frac{1}{2}\sqrt{|AB|²|AC|²-(AB*AC)² } \end{eqnarray*}$

Allerdings versteh ich nicht wie ich die Formeln auf die Aufgabe anwenden soll, ich kriege immer gigantische, unlogische Ergebnisse raus. Ich hoffe ihr könnt mir einen Lösungsweg mit den Formeln vorschlagen.

14.12.2010, 12:00

Seawave

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RE: Vektoren: Berechnen von Flächeninhalt (Dreieck)
Benutz am besten die erste Formel.
Diese berechnet den Flächeninhalt des Dreiecks über die Hälfte des Flächeninhalts des Paralellogramms ABCD.
Die beiden Beträge sind die Beträge der Verbindungsvektoren zwischen A und B bzw. A und C. Den Winkel und seinen Sinus kannst du über das Skalarprodukt berechnen (Aufpassen, im Skalarprodukt steht Cosinus!).

14.12.2010, 13:13

Elias166

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Hi, danke für deine Antwort Freude

Ich habe die Aufgabe jetzt nocheinmal druchgerechnet, ich stelle mal meinen Lösungsweg vor:

Zuerst habe ich die Länge der Strecke $\begin{eqnarray*} |AB| \end{eqnarray*}$ berechnet. Ich erhalte $\begin{eqnarray*} \sqrt{20} \end{eqnarray*}$ .

Nun habe ich die Länge der Strecke $\begin{eqnarray*} |AC| \end{eqnarray*}$ berechnet. Das Ergebnis ist $\begin{eqnarray*} \sqrt{50} \end{eqnarray*}$ .

Danach habe ich den Winkel $\begin{eqnarray*} \alpha \end{eqnarray*}$ am Punkt A berechnet. Für den cosinus von $\begin{eqnarray*} \alpha \end{eqnarray*}$ erhalte ich $\begin{eqnarray*} \frac{13}{\sqrt{35}* \sqrt{21}} \end{eqnarray*}$ , wobei 13 das Skalarprodukt der Vektoren von C und B ist. $\begin{eqnarray*} \sqrt{35} \end{eqnarray*}$ ist die Länge des Vektors C und $\begin{eqnarray*} \sqrt{21} \end{eqnarray*}$ die Länge des Vektors B. Danach löse ich und erhalte für $\begin{eqnarray*} \alpha \end{eqnarray*}$ gerundet 61,35°.

Anschließend habe ich in die erste Formel zur Lösung des Flächeninhaltes (siehe erster Beitrag) die gewonnen Werte eingesetzt und erhalte einen Flächeninhalt von gerundet 13,88 [Flächeneinheiten].

Leider besitzt das Buch keine Lösungen zu dieser Aufgabe. Ist mein Ergebnis korrekt? Würde mich freuen, wenn einer das überprüfen könnte Gott

14.12.2010, 13:53

Seawave

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Zitat:

Original von Elias166
Hi, danke für deine Antwort Freude

Bis hierhin richtig. Dann hast du aber das Skalarprodukt der Ortsvektoren B und C berechnet. Um den Winkel alpha, der von den Verbindungsvektoren von A nach B und A nach C eingeschlossen wird, zu berechnen, musst du aber das Skalarprodukt eben jener Verbindungsvektoren nehmen.
Dabei musst du darauf achten, dass die Vektoren entweder beide von A wegzeigen oder auf A hinzeigen.
Da du die Verbindungsvektoren "AC" (als Vektor) und "AB" oben ja bereits bestimmt hast, ebenso wie deren Beträge, musst du eigentlich nur noch ihr algebraisches Skalarprodukt bilden, das mit dem geometrischen gleichsetzen und dann dann nach alpha auflösen.

14.12.2010, 14:52

Elias166

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Wenn ich das jetzt richtig verstehe muss ich A $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} -1 \\ 2 \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ mit B $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 4 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ skalarmultiplizieren und dann noch A $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} -1 \\ 2 \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ mit C $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} -1 \\ -3 \\ 5 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ ?

Dann erhalte ich für das Skalarprodukt AB=3 und für AC=-5.

Wie errechne ich jetzt den Cosinus?

Kenne nur die Formel mit einem Skalarprodukt im Zähler und dem Produkt aus der Länge von 2 Vektoren im Nenner...nun habe ich ja 2 Skalarprodukte

14.12.2010, 15:12

Elias166

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Ich glaube ich verstehe jetzt, ich muss um den Vektor B zu bekommen, also AC bestimmen, mit OC-OA= $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} -1 \\ -3 \\ 5 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ - $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} -1\\ 2 \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ rechnen und erhalte $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 0\\ -5 \\ 5 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ .

Für den Vektor C erhalte ich somit $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 2\\ 0 \\ 4 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ und als Skalarprodukt von B und C 20. Richtig?

14.12.2010, 15:16

Seawave

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Edit: Genau richtig, deinen Rechenfehler hast du korrigiert.

Nenn den Vektor aber Vektor AC, der Vektor B ist eine andere Schreibweise für den Ortsvektor von B.

Das gleiche machst du auch mit dem Vektor AB.

Aus den beiden Vektoren bildest du dann das Skalarprodukt.

Die Formel leitet sich übrigens aus den beiden verschiedenen Definitionen des Skalarproduktes her, einmal die geometrische mit dem cosinus und einmal eine rein-alg
ebraische.

14.12.2010, 15:24

Elias166

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Okay, habe jetzt nochmal gerechnet.

Ich erhalte für den Winkel $\begin{eqnarray*} \alpha \end{eqnarray*}$ = 50,77°

Nun rechne ich $\begin{eqnarray*} \frac{1}{2}*\sqrt{20}*\sqrt{50}*\sin(50,77) \end{eqnarray*}$ und erhalte einen Flächeninhalt von ungefähr 12,25 Flächeneinheiten.

14.12.2010, 15:27

Seawave

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Habe die gleichen Ergebnisse.

Denke einfach immer dran, wenn du einen Winkel berechnen willst, dass du das über das Skalarprodukt der Vektoren, die den Winkel einschließen, machst.

14.12.2010, 15:42

Elias166

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Vielen vielen Dank für die Hilfe! Blumen

Jetzt hab ich ein gutes Gefühl für die Klausur morgen.

14.12.2010, 15:56

Elias166

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Noch ein Problem...

Ich habe das Dreieck ABC mit A(2|1|0) B(-4|7|3) C(3|1|6)

Für AC erhalte ich die Länge $\begin{eqnarray*} \sqrt{37} \end{eqnarray*}$ .
Für AB erhalte ich die Länge 9.

Das Skalarprodukt der Vektoren AC und AB ist 12.

Für den Winkel $\begin{eqnarray*} \alpha \end{eqnarray*}$ erhalte ich 77,34°.

Wenn ich nun $\begin{eqnarray*} \frac{1}{2}*9*\sqrt{37}*\sin(77,34) \end{eqnarray*}$ erhalte ich einen Flächeninhalt von 26,706.

Im Buch steht aber 53,413 als Lösung verwirrt

Ein Druckfehler? Vielleicht haben sie vergessen mit 0,5 zu muliplizieren...

14.12.2010, 21:18

Seawave

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Deine Rechnung ist völlig richtig, ich komme auf das gleiche Ergebnis, über einen zweiten Rechenweg übrigens auch.
Im Buch ist denen also wahrscheinlich genau das passiert ;-) Sind eben auch nur Menschen.

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