Vollständige Induktion einer Ungleichung

14.12.2010, 11:27

harddisk

Vollständige Induktion einer Ungleichung

Hallo:

Ich habe die vollständige Induktion bei Gleichungen verstanden, stehe aber nun vor einer Ungleichung. Ich hab die "ist-gleich"-Zeichen (etc.) nummeriert, damit Ihr wisst, auf welchen Schritt sich meine Frage bezieht. Folgendes Beispiel:

Bernouillische Ungleichung für $\begin{eqnarray*} x + 1\geq 0 ~und~ n\geq 0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} (1+x)^n \geq 1 + nx \end{eqnarray*}$

Induktionsschritte:

$\begin{eqnarray*} (1+x)^{n+1} ~~=_1 ~~(1+x)^n(1+x)~~ \geq_2 ~~(1+nx)(1+x) ~~=_3 ~~ 1+x+nx+nx^2~~ \geq_4 ~~1+x+nx ~~=_5 ~~1 +(n+1)x \end{eqnarray*}$

Frage 1: Mir ist neu, dass man "ist-gleich" und "größer-gleich"-Zeichen zusammen in einer Rechnung findet. Ist das eine verkürzte Schreibweise oder ist das formal tatsächlich richtig?

Frage 2: Ich verstehe Schritt 4 nicht. Aufgrund welcher Annahmen kommt man zur Aussage, dass 1+x+nx+nx^2 größer gleich 1+x+nx ist?

LG

14.12.2010, 11:45

harddisk

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RE: Vollständige Induktion einer Ungleichung
Sorry!!! Ich hab mich bei der Rubrik vertan. Hätte unter Hochschulmathematik gepostet werden sollen. Ich kanns nicht mehr editieren. Kanns wer ins Hochschulmathe-Forum stellen?

DAnke

14.12.2010, 11:48

Seawave

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RE: Vollständige Induktion einer Ungleichung
Das ist formal richtig, denn es handelt sich nur um eine Umformung der linken Seite, weshalb die Ungleichung immer noch gilt (man hätte es stattdessen auch in zwei Schritten schreiben können).

Zu Schritt 4.
Rechts in der Ungleichung steht 1+x+nx.
Links steht das gleiche, nur wird noch n*x² addiert. x² ist immer positiv und n ist ja auch größer oder gleich 0. Daher wird dieser Term auf keinen Fall negativ. Wenn er größer als 0 ist (für n>0), wird also ein positiver Summand addiert. Damit ist die linke Seite größer als die rechte Seite der Ungleichung.
Ist n=0, dann sind beide Seiten gleichwertig, daher steht dort auch größergleich und nicht größer.

14.12.2010, 12:10

klarsoweit

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RE: Vollständige Induktion einer Ungleichung

Zitat:

Original von harddisk
Frage 1: Mir ist neu, dass man "ist-gleich" und "größer-gleich"-Zeichen zusammen in einer Rechnung findet. Ist das eine verkürzte Schreibweise oder ist das formal tatsächlich richtig?

>= oder $\begin{eqnarray*} \geq \end{eqnarray*}$ ist eine verkürzte Schreibweise für > oder =. Eins von beiden muß gelten.

Zitat:

Original von harddisk
Frage 2: Ich verstehe Schritt 4 nicht. Aufgrund welcher Annahmen kommt man zur Aussage, dass 1+x+nx+nx^2 größer gleich 1+x+nx ist?

Oder etwas anders erklärt:
Du nimmst aus deinem Portemonnaie einen Geldschein (nx²) und gibst ihn mir. Was nachher im Portemonnaie ist, ist logischerweise weniger, als was vorher drin war. Augenzwinkern

14.12.2010, 12:12

harddisk

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RE: Vollständige Induktion einer Ungleichung
Schritt 4 erscheint mir aber willkürlich, denn unter dieser Annahme könnte ich alle möglichen Ungleichungen aufstellen, z.B.

$\begin{eqnarray*} <br /> 1+x+nx + nx^2 \geq 1+x+nx<br /> 1+x+nx + nx^2 \geq 1+x<br /> 1+x+nx + nx^2 \geq 1<br /> \end{eqnarray*}$

Was meinst?

14.12.2010, 12:16

klarsoweit

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RE: Vollständige Induktion einer Ungleichung
Ja, das könntest du, wobei die beiden letzten Ungleichungen ohne weiteres nur für nicht-negative x funktionieren.

Es kommt eben darauf an, daß du eine Ungleichung findest, die letztlich zum Ziel führt.

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