Überprüfen ob eine Menge mit Operation ein Vektorraum ist

14.12.2010, 12:14

Linearer Albert

Überprüfen ob eine Menge mit Operation ein Vektorraum ist

Meine Frage:
Bildet $\begin{eqnarray*} \mathbb R^2 \end{eqnarray*}$ mit den angegebenen Operationen einen Vektorraum über $\begin{eqnarray*} \mathbb R \end{eqnarray*}$ ?

$\begin{eqnarray*} (x_1, x_2) + (y_1, y_2) = (0, x_2 + y_2) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \lambda (x_1, x_2) = (0, \lambda x_2) \end{eqnarray*}$

Meine Ideen:
Ich glaube nicht dass die Aufgabe besonders schwer ist, aber ein Ansatz wäre nicht schlecht. Man kann als bekannt voraussetzen, dass $\begin{eqnarray*} \mathbb R^2, +, * \end{eqnarray*}$ ein Körper ist, deswegen muss man diesen Nachweis nicht führen. Man muss im wesentlichen überprüfen, ob die definierte Addition und Multiplikation abgeschlossen über $\begin{eqnarray*} \mathbb R \end{eqnarray*}$ ist, ob also wenn man zwei beliebige Vektoren mit Skalaren aus der Menge $\begin{eqnarray*} \mathbb R \end{eqnarray*}$ addiert, ein Vektor in der Form $\begin{eqnarray*} (0, x_2 + y_2) \end{eqnarray*}$ herauskommt?

Also ich würde sagen, dass die Angabe kein Vektorraum über $\begin{eqnarray*} \mathbb R \end{eqnarray*}$
ist, da die Voraussetzung nur gilt, wenn $\begin{eqnarray*} y_1 = -x_1 \end{eqnarray*}$ bei der Addition und $\begin{eqnarray*} x_1 = 0 \end{eqnarray*}$ bei der Multiplikation ist. Im Falle eines Vektorraumes wäre aber verlangt, dass alle $\begin{eqnarray*} x_1, x_2, y_1, y_2 \in \mathbb R \end{eqnarray*}$ mit Multiplikation und Addition die angegeben Form haben?

Und wie zeige ich das? Indem ich einfach zwei x, y aus $\begin{eqnarray*} \mathbb R \end{eqnarray*}$ wähle und zeige, dass Addition und Multiplikation der beiden nicht die verlangte Form haben?

14.12.2010, 12:17

Mazze

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Zitat:

Man muss im wesentlichen überprüfen, ob die definierte Addition und Multiplikation abgeschlossen über ist, ob also wenn man zwei beliebige Vektoren mit Skalaren aus der Menge addiert, ein Vektor in der Form herauskommt?

Das ist das Unterraumkriterium, dazu müsstest Du aber einen übergeordneten Vektorraum haben. Da Du ihn nicht hast, wirst Du wohl die Vektorraumaxiome überprüfen müssen.

14.12.2010, 12:26

Linearer Albert

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Ohje ;-(

Ich muss also überprüfen ob:

1) $\begin{eqnarray*} \lambda (\vec{x} + \vec{y}) = \lambda \vec{x} + \lambda \vec{y} \end{eqnarray*}$
2) $\begin{eqnarray*} (\lambda + \gamma) \vec{x} = \lambda \vec{x} + \gamma \vec{x} \end{eqnarray*}$
3) $\begin{eqnarray*} (\lambda \gamma)\vec{x} = \lambda (\gamma \vec{x} \end{eqnarray*}$
4) $\begin{eqnarray*} 1*\vec{x} = \vec{x} \end{eqnarray*}$

?

14.12.2010, 12:31

Mazze

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Ja, das sind schon einige der Vektorraumaxiome. Ich würde aber mit dem Anfangen das verletzt ist. Überleg mal welches das sein könnte.

14.12.2010, 16:14

Linearer Albert

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Du sagst das sind nur einige der Axiome und ich vermute, das Axiom das verletzt wird ist bei meiner Aufzählung nicht angeführt.

Hat es vielleicht was mit dem neutralen bzw inversen Element zu tun?

14.12.2010, 17:07

Linearer Albert

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Ok, ich habe gerade die Assoziativität bezüglich der Addition überprüft und habe festgestellt, dass diese nicht gegeben ist.

Es muss ja gelten:

$\begin{eqnarray*} ((x_1, x_2) + (y_1, y_2)) + (z_1, z_2) = (x_1, x_2) + ((y_1, y_2) + (z_1, z_2)) \end{eqnarray*}$

was nicht der Fall ist:
$\begin{eqnarray*} (0, x_1+x_2) + (z_1, z_2) = (z_1, x_2, y_2, z_2) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} ( x_1, x_2) + (0, y_2 + z_2) = (x_1, x_2, y_2, z_2) \end{eqnarray*}$

Ist damit wirklich schon gezeigt, dass es sich nicht um einen Vektorraum handelt?

14.12.2010, 17:11

Linearer Albert

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ähm das $\begin{eqnarray*} (z_1, x_2, y_2, z_2) \end{eqnarray*}$ soll $\begin{eqnarray*} (z_1, x_2 + y_2 + z_2) \end{eqnarray*}$ heißen, sorry.

14.12.2010, 17:31

Linearer Albert

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Bin drauf gekommen dass was ich oben geschrieben habe natürlich ein Blödsinn ist. Ich hab alles überprüft und bin jetzt der Meinung, dass ein Vektorraum vorhanden ist.

15.12.2010, 09:30

Mazze

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Zitat:

Bin drauf gekommen dass was ich oben geschrieben habe natürlich ein Blödsinn ist. Ich hab alles überprüft und bin jetzt der Meinung, dass ein Vektorraum vorhanden ist.

Dann zeig mir mal das neutrale Element.

p.s.: Mathematik ist keine Meinungssache.

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