Ableitung ohne Wurzel im Nenner

14.12.2010, 12:59

lydiredangel

Ableitung ohne Wurzel im Nenner

Hallo,

ich komme mit der Aufgabe nicht so ganz zurecht.

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{\sqrt[3] {x^2}} \end{eqnarray*}$

Davon die 1. Ableitung.

y= $\begin{eqnarray*} x^\frac{2} {3} \end{eqnarray*}$ ->(hoch MINUS 2/3, krieg ich grad nicht hin, sorry)

y'= $\begin{eqnarray*} -\frac{2} {3x^\frac{5} {3}} \end{eqnarray*}$

Das Ergebnis krieg ich auch von Online-Rechnern angezeigt.

Aber laut Buch ist die Lösung:

y'= $\begin{eqnarray*} -\frac{2 \sqrt[3] {x}} {3x^2} \end{eqnarray*}$

Ich denke, die machen nach meiner Lösung so weiter:
y'= $\begin{eqnarray*} -\frac{2} {3 \sqrt[3] {x^5}} \end{eqnarray*}$

Und dann sagt die Anstandsregel im Buch ja, Wurzeln im Nenner sollen weg. Und hier weiß ich nicht weiter.
Muss man dann nicht multiplizieren mit $\begin{eqnarray*} \sqrt[3] {x^5} \end{eqnarray*}$ im Nenner und im Zähler und das zweimal und dann steht im Nenner nur noch $\begin{eqnarray*} 3x^5 \end{eqnarray*}$ ??
Aber damit komme ich nicht auf das Ergebnis laut Buch.

Ich weiß nicht, warum man nicht einfach das erste Ableitungsergebnis so lassen kann.

Vielleicht kann mir jmd. helfen?

Grüße Lydia

14.12.2010, 13:02

Helferlein

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Erweitere Dein Ergebnis mal mit $\begin{eqnarray*} \sqrt[3]x \end{eqnarray*}$

14.12.2010, 13:40

lydiredangel

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Mmh weiß ich jetzt ehrlich gesagt nicht, was mir das bringt?

Dann komm ich doch auf:

y'= $\begin{eqnarray*} \frac{2 \sqrt[3] {x}} {3 \sqrt[3] {x^6}} \end{eqnarray*}$

14.12.2010, 13:45

baphomet

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Ja und das entspricht der Lösung im Buch denn

$\begin{eqnarray*} \sqrt[3]{x^6}=x^\frac{6}{3}=x^2 \end{eqnarray*}$

Damit stimmen Zähler und Nenner doch überein, oder nicht

14.12.2010, 13:50

lydiredangel

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Achso, das stimmt natürlich.

Aber wieso erweitert man mit $\begin{eqnarray*} \sqrt[3] {x} \end{eqnarray*}$ ??

Das ist mir nicht so ganz klar.

14.12.2010, 13:51

baphomet

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Damit du auf deine angegeben Lösung im Buch kommst, da bietet sich das
nunmal an.

14.12.2010, 15:08

lydiredangel

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Danke dir auf jeden Fall. Ist schon etwas klarer.

Dann versuch ich mich mal an paar andern Aufgaben.

14.12.2010, 15:56

lgrizu

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Zitat:

Original von baphomet
Damit du auf deine angegeben Lösung im Buch kommst, da bietet sich das
nunmal an.

Das stimmt so nicht ganz, man ist auch häufig bestrebt, im Nenner keine Wurzeln mehr stehen zu haben, und da gibt es gewisse Umformunen, die das ermöglichen.

So ist zum Beispiel $\begin{eqnarray*} \frac{\sqrt{5}}{5} \end{eqnarray*}$ ein angenehmerer Ausdruck als $\begin{eqnarray*} \frac{1}{\sqrt{5}} \end{eqnarray*}$ .

Nur als Anmerkung am Rande, ansonsten misch ich mich nicht weiter ein.

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