Leibniz Kriterium

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14.12.2010, 13:51	Bmeise	Auf diesen Beitrag antworten »
Leibniz Kriterium Huhu, Also wir sollen die Reihe: $\begin{eqnarray} \sum\limits_{n=1}^\infty \frac{sin(n)}{n^2} \end{eqnarray}$ auf konvergenz prüfen. Nun wollt ich frage ob man dafür das Leibniz kriterium nehmen darf. Weil sinus ist ja alternierend und 1/n^2 eine monotone nullfolge. Daher müsste das ganze ding doch konvergent sein oder?
14.12.2010, 13:55	Iorek	Auf diesen Beitrag antworten »
Nein, das Leibnizkriterium wirst du hier nicht anwenden können, dafür müsste eine Reihe der Form $\begin{eqnarray} \sum\limits_{n=1}^\infty (-1)^n a_n \end{eqnarray}$ vorliegen, wobei $\begin{eqnarray} a_n \end{eqnarray}$ monoton fallend sein muss. Du findest aber mit dem Majorantenkriterium sehr schnell eine Lösung, wenn du die Beschränktheit des Sinus ausnutzt.
14.12.2010, 14:17	Bmeise	Auf diesen Beitrag antworten »
hmm, wenn jmd. ne Erklärung hat warum man Leibniz nicht nehmen darf wärs gut, damit ich auch was lerne ^^ Weil eig. alterniert der sinus ja zwischen -1 und 1 und zum majoranten kriterium: Ich darf mir eine beliebige reihe suchen die >= der reihe von oben ist und konvergiert? Und wie find ich sowas? Ich könnte zwar warsch. ganz einfach raten aber da kommt sicher auch mal was schwiergeres als das hier vor. Gibts da vlt eine art schema für?
14.12.2010, 14:21	Iorek	Auf diesen Beitrag antworten »
Die Werte des Sinus liegen zwischen -1 und 1, aber deshalb darfst du das nicht als $\begin{eqnarray} (-1)^n \end{eqnarray}$ ansehen, es ist sogar $\begin{eqnarray} \sin(n)\neq \pm 1~\forall n\in\mathbb N \end{eqnarray}$ . Ja, so funktioniert das Majorantenkriterium; wie du eine konvergente Reihe findest habe ich mit der Beschränktheit des Sinus eigentlich auch schon vorgegeben. Es gibt einige "Standardreihen" deren Konvergenzverhalten man kennen sollte.
14.12.2010, 14:32	Bmeise	Auf diesen Beitrag antworten »
hm ich hätte hier einfach 1/n^2 behauptet. Das konvergiert soweit ich weiß und muss ja >=\|sin(n)/n^2\| weil wenn ich das auflöse hätte ich da stehen das 1>=\|sin(n)\| und das müsste ja dank der beschrenktheit des sinus gelten. Aber es gibt keine art kochrezept wie man majoranten für beliebige reihen findet? Über irgendwelche tollen ungleichungen? ^^
14.12.2010, 14:33	Iorek	Auf diesen Beitrag antworten »
Nein, ein festes Kochrezept gibt es dafür nicht. Deine Majorante stimmt.
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14.12.2010, 14:38	Bmeise	Auf diesen Beitrag antworten »
Ach schade, wär ja auch zu einfach gewesen. Trotzdem danke für deine Hilfe, jetzt ist mir wieder einiges klarer. ;D
14.12.2010, 14:44	lgrizu	Auf diesen Beitrag antworten »
Du könntest auf die Reihe $\begin{eqnarray} \sum\limits_{k=1}^n \frac{ \sin( (2n-1) \frac{ \pi}{2})}{n^2} \end{eqnarray}$ das Leibnizkriterium anwenden, denn hier "pendelt" der sin wirklich zwischen -1 und 1 hin und her. Einfach nur $\begin{eqnarray} \sin (n) \end{eqnarray}$ nimmt jedoch auch alle Werte zwischen -1 und 1 an. Nur noch als kleine Ergänzung, dass es ohne weiteres auch sinus-folgen gibt, auf die man Leibniz anwenden kann.
14.12.2010, 15:15	René Gruber	Auf diesen Beitrag antworten »
Da wir bei Ergänzungen sind: Das Leibniz-Kriterium ist ein Spezialfall des Dirichlet-Kriteriums. Letzteres íst hier (im Gegensatz zu Leibniz) tatsächlich anwendbar und taugt sogar zum Beweis der Konvergenz von $\begin{eqnarray} \sum\limits_{n=1}^{\infty} \frac{\sin(n)}{n^{\alpha}} \end{eqnarray}$ für beliebige $\begin{eqnarray} \alpha>0 \end{eqnarray}$ , speziell also auch für $\begin{eqnarray} 0<\alpha\leq 1 \end{eqnarray}$ , wo der Alternativweg Majorantenkriterium nicht mehr greift.

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