Lagrange Fehlerabschätzung

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14.12.2010, 16:40	Wombat91	Auf diesen Beitrag antworten »
Lagrange Fehlerabschätzung Hallo zusammen Ich brauche dingend mal etwas Hilfe bei der Lagrange Fehlerabschätzung. In Wikipedia steht: Liegt das Intervall $\begin{eqnarray} (a &#8722; r,a + r) \end{eqnarray}$ in I und gilt $\begin{eqnarray} \|f^{(n+1)}(x)\| \le M_n \end{eqnarray}$ für alle $\begin{eqnarray} x \in (a-r,a+r) \end{eqnarray}$ , so gilt für das Restglied die Abschätzung $\begin{eqnarray} \|R_n(x)\| \le M_n \frac{(x-a)^{n+1}}{(n+1)!} \le M_n \frac{r^{n+1}}{(n+1)!} \end{eqnarray}$ Aber was ist M und r?? Ich verstehe leider nur Bahnhof!! Ich würde gern die Lagrangefehlerabschätzung von $\begin{eqnarray} f(x)=-ln(1-\frac{x}{2}) \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} \sum_{k=1}^{\infty} \frac{x^k}{k\cdot 2^k} \end{eqnarray}$ im Entwicklungspunkt 0 durchführen. Wobei $\begin{eqnarray} f^{(k)}(x)=\frac{(k-1)!}{(2-x)^k} \end{eqnarray}$ . Könnt ihr mir vielleicht helfen, wäre wirklich sehr dankbar!!
14.12.2010, 16:44	tigerbine	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Lagrange Fehlerabschätzung Erst mal der Wikilink: http://de.wikipedia.org/wiki/Taylor-Form...bsch.C3.A4tzung Es wurde ein Taxlorpolynom gebildet, um a entwickelt. Nun interessiert man sich für den Fehler auf einem Intervall I. Liegt in diesem I ein r-Umgebung von a und ist die n+1-Ableitung von f auf dieser Umgebung beschränkt [betragsmäßig!], so gelten die von dir geposteten Formeln. $\begin{eqnarray} R_{n}(x) = \frac{f^{(n+1)}(\xi)}{(n+1)!}(x-a)^{n+1} \end{eqnarray}$ Macht ja bei der Form des Restgliedes auch Sinn, oder?
14.12.2010, 16:54	Wombat91	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Lagrange Fehlerabschätzung Bei mir wäre ja $\begin{eqnarray} R_n=\frac{x^{n+1}}{(2-\xi)^{n+1} (n+1)} \end{eqnarray}$ Könnte ich jetzt $\begin{eqnarray} r=2^{n+1} \end{eqnarray}$ setzen? Vielen Dank schon mal!
14.12.2010, 16:59	Wombat91	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Lagrange Fehlerabschätzung Meine n+1-te Ableitung ist ja $\begin{eqnarray} f^{(n+1)}(x)=\frac{n!}{(2-x)^{n+1}} \end{eqnarray}$ Ist die überhaupt beschränkt?? Woran sieht man das?
14.12.2010, 17:17	tigerbine	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Lagrange Fehlerabschätzung Vielleicht würde es dir helfen, n erst mal konkret zu wählen. Plotte dir das ganze und versuche es dann auf den Allgemeinfall zu übertragen. Wo möchtest du denn abschätzen, also die Umgebung von 0 ist?
14.12.2010, 17:29	Wombat91	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Lagrange Fehlerabschätzung Ja, ich möchte in der Umgebung von 0 abschätzen. Was meinst du mit: n wählen, n kann ich doch gar nicht wählen!! Sorry, wenn ich so schwer von Begriff bin!!!
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14.12.2010, 17:32	tigerbine	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Lagrange Fehlerabschätzung Du sollst dich mit der Aufgabe vertraut machen. Um die Formel zu verstehen, und ob die heir passt, kannst du doch für dich mal n konkret wählen, also den Grad des Taylorpolynoms.
14.12.2010, 18:02	Wombat91	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Lagrange Fehlerabschätzung $\begin{eqnarray} f(x)=\frac x 2 + \frac{x^2}{8}+ \frac{x^3}{24}+... \end{eqnarray}$ Allgemein: $\begin{eqnarray} f^{(k)}(x)=\frac{(k-1)!}{(2-x)^k} \end{eqnarray}$ Das wird niemals eine Konstante, also ist die Ableitung niemals beschränkt auch die (n+1)-te nicht???
14.12.2010, 18:16	tigerbine	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Lagrange Fehlerabschätzung Seit wann ist es Bedingung, dass Funktionen konstant sein müssen, um beschränkt zu sein? $\begin{eqnarray} f(x)=-\ln(1-\frac{x}{2}) \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} T_2(x;0) =f(0) + \frac{f'(0)}{1!}(x-0) + \frac{f''(0)}{2!}(x-0)^2 \end{eqnarray}$ Wie lautet nun die dritte Ableitung? Plot machen.
14.12.2010, 18:37	Wombat91	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Lagrange Fehlerabschätzung Die ditte Ableitung wäre $\begin{eqnarray} \frac {2}{(2-x)^3} \end{eqnarray}$ . Stimmt die ist beschränkt, weil sie eine horizontale Asyomptote hat, oder? Jetzt muss ich also schauen, für welche n, der limes exisitiert, oder? Vielen Dank für deine Geduld!!!
14.12.2010, 18:58	tigerbine	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Lagrange Fehlerabschätzung Ich sagte doch - Plot. Wenn man nun r vernünftig wählt, dann ist die doch auch Beschränkt. Beachte, in dem Link ist es eine offene Umgebung! Nun kannst du ja mal r und M bestimmen. Dann weitere Überlegungen anstellen.
14.12.2010, 20:55	Wombat91	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Lagrange Fehlerabschätzung Alle Ableitungen haben bei x=2 eine Polstelle, dann könnte ich r=5 z.B. und M beliebig klein, z.B. 1/10 wählen, ist das so korrekt??? Entschuldigung, dass ich so viel frage, mir hat das noch nie jmd. gezeigt und in den Büchern finde ich keine Beisp....
14.12.2010, 21:02	tigerbine	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Lagrange Fehlerabschätzung r=5 ist ein bisschen groß, wenn du um 0 entwickelst und bei x=2 Polstelle hast, oder? $\begin{eqnarray} f^{(k)}(x)=\frac{(k-1)!}{(2-x)^k} \end{eqnarray}$ Es ist k ja nun fix. Im Zähler steht also eine Zahl. Wenn man x nun in (-r,r) mit r<2 wählt, dann kann man die Ableitung doch abschätzen.
14.12.2010, 21:12	Wombat91	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Lagrange Fehlerabschätzung Ist jetzt vielleicht eine etwas dumme Frage, aber wieso hast du jetzt r<2 gewählt, im Intervall (-2,2) ist ja die Funktion nicht beschränkt oder??
14.12.2010, 21:14	tigerbine	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Lagrange Fehlerabschätzung Wenn ich nun nur (-1,1) betrachte finde ich das schon beschränkt. Mein Post sollte nicht (-2,2) als Wahl bedeuteten. Dann wäre ja r=2.
14.12.2010, 21:46	Wombat91	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Lagrange Fehlerabschätzung Ach so ja stimmt. Also kann ich nun z.B. sagen: $\begin{eqnarray} \|R_n(x)\| \le M_n \frac{(x)^{n+1}}{(n+1)!} \le M_n \frac{1^{n+1}}{(n+1)!}=M_n \frac{1}{(n+1)!} \end{eqnarray}$ (für M<0) und somit wäre $\begin{eqnarray} \|R_n\| \end{eqnarray}$ eine Nullfolge??
14.12.2010, 21:50	tigerbine	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Lagrange Fehlerabschätzung Die Abschätzung wirst du verwenden können. Wie kommst du nun auf die Nullfolge? Es hängt M doch auch von n ab. Und M<0 macht doch auch keinen Sinn, wenn wir es aus der Abschätzung eines Betrages gewonnen haben.
14.12.2010, 21:53	Wombat91	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Lagrange Fehlerabschätzung äh, ich meinte natürlich M<1. Und bzgl. der Nullfolge: ich dachte, dass aus der Abschätzung folgt: $\begin{eqnarray} \lim_{x\to a} \frac{R_{n}(x)}{(x-a)^n} = 0 \end{eqnarray}$
14.12.2010, 22:17	tigerbine	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Lagrange Fehlerabschätzung Dabei ist n fest. Man ändert doch x. $\begin{eqnarray} \|R_n(x)\| \le M_n \frac{(x-a)^{n+1}}{(n+1)!} \end{eqnarray}$ Insbesondere gilt $\begin{eqnarray} \lim_{x\to a} \|\frac{R_{n}(x)}{(x-a)^n}\| \leq \lim_{x\to a}M_n \frac{(x-a)^{n+1}}{(n+1)!(x-a)^n} \end{eqnarray}$
14.12.2010, 22:33	Wombat91	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Lagrange Fehlerabschätzung $\begin{eqnarray} \frac{x}{(n+1)!}\cdot M_n \end{eqnarray}$ geht ja gegen 0 für x gegen 0. Somit wäre es dann gezeigt oder??
14.12.2010, 22:59	tigerbine	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Lagrange Fehlerabschätzung Ja.

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