Lücke in der Mathematik :D ? modulo

14.12.2010, 17:58	saladin	Auf diesen Beitrag antworten »
Lücke in der Mathematik :D ? modulo Meine Frage: Servus Leute, Ich lern grade modulo und so ... $\begin{eqnarray} \mathbb Z_{n} \end{eqnarray}$ kennt ihr ja.. Auf jedenfall ist mir da was aufgefallen... Meine Ideen: Damit eine Menge und ihre Verknüpfung als Gruppe akzeptiert werden, müssen ja bestimmte Axiome erfüllt werden, unter anderem G x G -> G Das bedeutet soviel wie... Ich nehme 2 Elemente aus einer Menge, tu sie zusammen per addition, multiplikation, was auch immer, und bekomme ein neues Element in derselben Menge.Konkreteres Beispiel: R x R -> R Die Menge der Rellen Zahlen $\begin{eqnarray} \mathbb R \end{eqnarray}$ ist ja eine Gruppe... und das Axiom RxR->R ist auch erfüllt..... So... schauen wir uns einmal $\begin{eqnarray} \mathbb Z_{5} \end{eqnarray}$ an.. $\begin{eqnarray} \mathbb Z_{5} \end{eqnarray}$ ={0,1,2,3,4} D.h. man rechnet folgendermasen.....z.B. 10 mod 5 = 0 7 mod 5 = 2 3 mod 5 = 2 glaub ich?? jedenfalls... Ist $\begin{eqnarray} \mathbb Z_{5} \end{eqnarray}$ ebenfalls ein Körper.. weil n eine Primzahl ist... und somit natürlich auch eine Gruppe... D.h. das Axiom G x G -> G muss auch erfüllt sein.. Also $\begin{eqnarray} \mathbb Z_{5} \end{eqnarray}$ x $\begin{eqnarray} \mathbb Z_{5} \end{eqnarray}$ -> $\begin{eqnarray} \mathbb Z_{5} \end{eqnarray}$ Das ist aber nicht der Fall... Wenn wir uns die oberen Beispiele anschauen, sind 10 und 7 nicht in der Menge $\begin{eqnarray} \mathbb Z_{5} \end{eqnarray}$ enthalten... und somit ist $\begin{eqnarray} \mathbb Z_{5} \end{eqnarray}$ auch keine Gruppe und erst recht kein Körper. Ich bin mir ziemlich sicher dass ich nur scheise laber ... aber ich seh keine Fehler in meinem Denken.. kann mich vielleicht jemand aufklären? gruß samed
14.12.2010, 18:04	tigerbine	Auf diesen Beitrag antworten »
Ein Erklärungsversuch. Dein Problem ist, dass du die bekannten Zahlen schon so lieb gewonnen hast. Du hast eine Menge gegeben $\begin{eqnarray} \mathbb Z_{5} \end{eqnarray}$ ={0,1,2,3,4} Darauf definierst du nun, wie gerechnet werden soll. (Gruppentafel). Stell dir vor, du hättest nur das. Dann gibt es doch keine Probleme. Des weiteren solltest du dich fragen, für was 0,1,2,3,4 stehen. Man schreibt es oft ja auch mit einem Strich drüber. Es ist nicht die konkrete Zahl, sondern ein Symbol für eine Restklasse. Und in die Restklassen kann man dann auch die größeren nat. Zahlen wieder einsortieren.

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