Quartische Gleichung 0 = b^4 + b - 1 exakt darstellen

14.12.2010, 18:23	blackdrake	Auf diesen Beitrag antworten »
Quartische Gleichung 0 = b^4 + b - 1 exakt darstellen Hallo, ich möchte folgende Gleichung EXAKT lösen: $\begin{eqnarray} 0 = 1-b - b^4 \end{eqnarray}$ Dies entspricht: $\begin{eqnarray} 0 = b^4 + b - 1 \end{eqnarray}$ Dabei soll $\begin{eqnarray} b \in \mathbb{R} \ge 0 \end{eqnarray}$ sein. Eine schnelle Analyse bei http://www.wolframalpha.com/input/?i=%281-x+%2B-x^4%29%3D0 zeigt, dass die Lösung, die ich suche $\begin{eqnarray} b = 0,724492 \end{eqnarray}$ ist. Diese Zahl möchte ich gerne in exakter Form darstellen. Allerdings möchte ich nach Möglichkeit nicht auf das ziehen der Wurzeln von komplexen Zahlen zurückgreifen (ich möchte die Zahl mit einem Computerprogramm beliebig genau darstellen und deswegen wäre das ziehen der Wurzel aus einer komplexen Zahl mit Umständen verbunden). Mein Lösungweg: Mithilfe der quartische Formel (Kompakte Formulierung für reellwertige Koeffizienten) http://de.wikipedia.org/wiki/Quartische_...e_Koeffizienten $\begin{eqnarray} ax^4 + bx^3 + cx^2 + d^x + e = 0 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} a=1 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} b=0 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} c=0 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} d=1 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} e=-1 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} y = x + \frac{b}{4a} = x \end{eqnarray}$ Wir besitzen bereits die reduzierte Form $\begin{eqnarray} y^4 + py^2 + qy + r = 0 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} p = 0 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} q = 1 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} r = -1 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} q \neq 0 \end{eqnarray}$ : Nicht bikubisch Kubische Resolvente $\begin{eqnarray} z \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} z^3 + 2pz^2 + (p^2 - 4r)z - q^2 = 0 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} z^3 + 4z - 1 = 0 \end{eqnarray}$ Lösen der Resolvente mithilfe der Cardanische Formel zur Auflösung der reduzierten Form z³ + pz + q = 0 http://www.wolframalpha.com/input/?i=z^3%2B4z-1%3D0 http://de.wikipedia.org/wiki/Cardanische..._pz_.2B_q_.3D_0 $\begin{eqnarray} p = 4 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} q = -1 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} D:=\left(\frac{q}2\right)^2 + \left(\frac{p}3\right)^3 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} D=\left(\frac{-1}2\right)^2 + \left(\frac{4}3\right)^3=\frac{283}{108} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} u = \sqrt[3]{-\frac{q}2 + \sqrt{D}} = \sqrt[3]{-\frac{-1}2 + \sqrt{\frac{283}{108}}} = \sqrt[3]{\frac{1}2 + \sqrt{\frac{283}{108}}} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} v = \sqrt[3]{-\frac{q}2 - \sqrt{D}} = \sqrt[3]{-\frac{-1}2 - \sqrt{\frac{283}{108}}} = \sqrt[3]{\frac{1}2 - \sqrt{\frac{283}{108}}} \end{eqnarray}$ Lösungen $\begin{eqnarray} z_1 = u + v = \sqrt[3]{\frac{1}2 + \sqrt{\frac{283}{108}}} + \sqrt[3]{\frac{1}2 - \sqrt{\frac{283}{108}}} \approx 0.24626617216772 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} z_2 = -\frac{u+v}2 + \frac{u-v}2\,\mathrm i \sqrt3 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} z_2 = -\frac{\sqrt[3]{\frac{1}2 + \sqrt{\frac{283}{108}}}+\sqrt[3]{\frac{1}2 - \sqrt{\frac{283}{108}}}}2 + \frac{\sqrt[3]{\frac{1}2 + \sqrt{\frac{283}{108}}}-\sqrt[3]{\frac{1}2 - \sqrt{\frac{283}{108}}}}2\,\mathrm i \sqrt3 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} z_3 = -\frac{u+v}2 - \frac{u-v}2\,\mathrm i \sqrt3 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} z_3 = -\frac{\sqrt[3]{\frac{1}2 + \sqrt{\frac{283}{108}}}+\sqrt[3]{\frac{1}2 - \sqrt{\frac{283}{108}}}}2 - \frac{\sqrt[3]{\frac{1}2 + \sqrt{\frac{283}{108}}}-\sqrt[3]{\frac{1}2 - \sqrt{\frac{283}{108}}}}2\,\mathrm i \sqrt3 \end{eqnarray}$ Zurück zur Quartischen Lösung Resolvente: Eine reelle Lösung und zwei komplexe, zueinander konjugierte Lösungen Bedeutung: zwei reelle und zwei konjugiert komplexe Lösungen $\begin{eqnarray} y_1 =\sigma \frac{1}{2}(\sqrt{z_1} + \sqrt{z_2} - \sqrt{z_3}) \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} y_2 =\sigma \frac{1}{2}(\sqrt{z_1} - \sqrt{z_2} + \sqrt{z_3}) \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} y_3 =\sigma \frac{1}{2}(-\sqrt{z_1} + \sqrt{z_2} + \sqrt{z_3}) \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} y_4 =\sigma \frac{1}{2}(-\sqrt{z_1} - \sqrt{z_2} - \sqrt{z_3}) \end{eqnarray}$ wobei $\begin{eqnarray} \sigma\in\{-1,+1\} \end{eqnarray}$ so zu wählen ist, dass $\begin{eqnarray} \sigma \sqrt{z_1} \sqrt{z_2} \sqrt{z_3} = q = 1 \end{eqnarray}$ Problem: 1. Ich habe noch nicht genau herausgefunden, was ich genau bei der Resolvente beachten muss, damit die Zusatzbedingung $\begin{eqnarray} u\cdot v = -\frac{p}3 \end{eqnarray}$ erfüllt ist. 2. Ein größeres Problem ist, dass ich die Wurzeln aus z1 .. z4 ziehen muss. Allerdings habe ich selbst nach langer Recherche nichts genaueres über die algebraische Lösung für die Quadratwurzel aus einer komplexen Zahl gefunden. Da ich nur eine Formel für die Wurzel in der Polarform habe, müsste ich meine kartesische Form in die Polarform wandeln (ohne Runden), was ja nicht möglich ist. Daher brauche ich eine Wurzelfunktion, die direkt algebraisch arbeitet. Gruß blackdrake ---- Edit: Ich bekomme Kopfweh... Gibt es keine einfachere Variante, um aus reellwertigen Koeffizienten eine reelle Lösung zu erhalten? $\begin{eqnarray} z_2 = -\frac{\sqrt[3]{\frac{1}2 + \sqrt{\frac{283}{108}}}+\sqrt[3]{\frac{1}2 - \sqrt{\frac{283}{108}}}}2 + \frac{\sqrt[3]{\frac{1}2 + \sqrt{\frac{283}{108}}}-\sqrt[3]{\frac{1}2 - \sqrt{\frac{283}{108}}}}2\,\mathrm i \sqrt3 \end{eqnarray}$ Umwandlung von kartesischer Form $\begin{eqnarray} z = a+bi \end{eqnarray}$ in Polarform $\begin{eqnarray} z = r \cdot e^{i\varphi} \end{eqnarray}$ mittels $\begin{eqnarray} r = \|z\| = \sqrt{a^2+b^2} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \varphi = arctan(\frac{b}{a}) \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} z_2 = a+bi \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} a = -\frac{\sqrt[3]{\frac{1}2 + \sqrt{\frac{283}{108}}}+\sqrt[3]{\frac{1}2 - \sqrt{\frac{283}{108}}}}2 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} b = \frac{\sqrt[3]{\frac{1}2 + \sqrt{\frac{283}{108}}}-\sqrt[3]{\frac{1}2 - \sqrt{\frac{283}{108}}}}2\, \sqrt3 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} r = \sqrt{(\frac{\sqrt[3]{\frac{1}2 + \sqrt{\frac{283}{108}}}+\sqrt[3]{\frac{1}2 - \sqrt{\frac{283}{108}}}}2)^2+(\frac{\sqrt[3]{\frac{1}2 + \sqrt{\frac{283}{108}}}-\sqrt[3]{\frac{1}2 - \sqrt{\frac{283}{108}}}}2\, \sqrt3)^2} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \varphi = arctan(- \frac{\frac{\sqrt[3]{\frac{1}2 + \sqrt{\frac{283}{108}}}-\sqrt[3]{\frac{1}2 - \sqrt{\frac{283}{108}}}}2\, \sqrt3}{\frac{\sqrt[3]{\frac{1}2 + \sqrt{\frac{283}{108}}}+\sqrt[3]{\frac{1}2 - \sqrt{\frac{283}{108}}}}2}) \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} z_2 = \sqrt{(\frac{\sqrt[3]{\frac{1}2 + \sqrt{\frac{283}{108}}}+\sqrt[3]{\frac{1}2 - \sqrt{\frac{283}{108}}}}2)^2+(\frac{\sqrt[3]{\frac{1}2 + \sqrt{\frac{283}{108}}}-\sqrt[3]{\frac{1}2 - \sqrt{\frac{283}{108}}}}2\, \sqrt3)^2} \cdot e^{i \cdot arctan(- \frac{\frac{\sqrt[3]{\frac{1}2 + \sqrt{\frac{283}{108}}}-\sqrt[3]{\frac{1}2 - \sqrt{\frac{283}{108}}}}2\, \sqrt3}{\frac{\sqrt[3]{\frac{1}2 + \sqrt{\frac{283}{108}}}+\sqrt[3]{\frac{1}2 - \sqrt{\frac{283}{108}}}}2})} \end{eqnarray}$ Quadratwurzel von $\begin{eqnarray} z_2 \end{eqnarray}$ : $\begin{eqnarray} \sqrt{z} = \sqrt{r} \cdot e^{i \frac{\varphi+2k\pi}{2}} \qquad k = \{0, 1\} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \sqrt{z_2} = \sqrt{\sqrt{(\frac{\sqrt[3]{\frac{1}2 + \sqrt{\frac{283}{108}}}+\sqrt[3]{\frac{1}2 - \sqrt{\frac{283}{108}}}}2)^2+(\frac{\sqrt[3]{\frac{1}2 + \sqrt{\frac{283}{108}}}-\sqrt[3]{\frac{1}2 - \sqrt{\frac{283}{108}}}}2\, \sqrt3)^2} \cdot e^{i \frac{arctan(- \frac{\frac{\sqrt[3]{\frac{1}2 + \sqrt{\frac{283}{108}}}-\sqrt[3]{\frac{1}2 - \sqrt{\frac{283}{108}}}}2\, \sqrt3}{\frac{\sqrt[3]{\frac{1}2 + \sqrt{\frac{283}{108}}}+\sqrt[3]{\frac{1}2 - \sqrt{\frac{283}{108}}}}2})+2k\pi}{2}}} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \qquad k = \{0, 1\} \end{eqnarray}$
14.12.2010, 23:21	blackdrake	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich habe etwas weiter gerechnet... Kennt einer eine einfachere Lösung, um die Zahl 0,72... exakt zu bestimmen? $\begin{eqnarray} z_1 = \sqrt[3]{\frac{1}2 + \sqrt{\frac{283}{108}}} + \sqrt[3]{\frac{1}2 - \sqrt{\frac{283}{108}}} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \sqrt{z_2} = \sqrt{\sqrt{(\frac{\sqrt[3]{\frac{1}2 + \sqrt{\frac{283}{108}}}+\sqrt[3]{\frac{1}2 - \sqrt{\frac{283}{108}}}}2)^2+(\frac{\sqrt[3]{\frac{1}2 + \sqrt{\frac{283}{108}}}-\sqrt[3]{\frac{1}2 - \sqrt{\frac{283}{108}}}}2\, \sqrt3)^2} \cdot e^{i \frac{arctan(- \frac{\frac{\sqrt[3]{\frac{1}2 + \sqrt{\frac{283}{108}}}-\sqrt[3]{\frac{1}2 - \sqrt{\frac{283}{108}}}}2\, \sqrt3}{\frac{\sqrt[3]{\frac{1}2 + \sqrt{\frac{283}{108}}}+\sqrt[3]{\frac{1}2 - \sqrt{\frac{283}{108}}}}2})+2k\pi}{2}}} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \sqrt{z_3} = \sqrt{\sqrt{(\frac{\sqrt[3]{\frac{1}2 + \sqrt{\frac{283}{108}}}+\sqrt[3]{\frac{1}2 - \sqrt{\frac{283}{108}}}}2)^2+(\frac{\sqrt[3]{\frac{1}2 + \sqrt{\frac{283}{108}}}-\sqrt[3]{\frac{1}2 - \sqrt{\frac{283}{108}}}}2\, \sqrt3)^2} \cdot e^{i \frac{arctan(\frac{\frac{\sqrt[3]{\frac{1}2 + \sqrt{\frac{283}{108}}}-\sqrt[3]{\frac{1}2 - \sqrt{\frac{283}{108}}}}2\, \sqrt3}{\frac{\sqrt[3]{\frac{1}2 + \sqrt{\frac{283}{108}}}+\sqrt[3]{\frac{1}2 - \sqrt{\frac{283}{108}}}}2})+2k\pi}{2}}} \end{eqnarray}$ Somit $\begin{eqnarray} y_{1,2,3,4} =\sigma \frac{1}{2}(\sqrt{\sqrt[3]{\frac{1}2 + \sqrt{\frac{283}{108}}} + \sqrt[3]{\frac{1}2 - \sqrt{\frac{283}{108}}}} \pm \sqrt{\sqrt{\sqrt{(\frac{\sqrt[3]{\frac{1}2 + \sqrt{\frac{283}{108}}}+\sqrt[3]{\frac{1}2 - \sqrt{\frac{283}{108}}}}2)^2+(\frac{\sqrt[3]{\frac{1}2 + \sqrt{\frac{283}{108}}}-\sqrt[3]{\frac{1}2 - \sqrt{\frac{283}{108}}}}2\, \sqrt3)^2} \cdot e^{i \frac{arctan(- \frac{\frac{\sqrt[3]{\frac{1}2 + \sqrt{\frac{283}{108}}}-\sqrt[3]{\frac{1}2 - \sqrt{\frac{283}{108}}}}2\, \sqrt3}{\frac{\sqrt[3]{\frac{1}2 + \sqrt{\frac{283}{108}}}+\sqrt[3]{\frac{1}2 - \sqrt{\frac{283}{108}}}}2})+2k\pi}{2}}} } \pm \sqrt{\sqrt{\sqrt{(\frac{\sqrt[3]{\frac{1}2 + \sqrt{\frac{283}{108}}}+\sqrt[3]{\frac{1}2 - \sqrt{\frac{283}{108}}}}2)^2+(\frac{\sqrt[3]{\frac{1}2 + \sqrt{\frac{283}{108}}}-\sqrt[3]{\frac{1}2 - \sqrt{\frac{283}{108}}}}2\, \sqrt3)^2} \cdot e^{i \frac{arctan(\frac{\frac{\sqrt[3]{\frac{1}2 + \sqrt{\frac{283}{108}}}-\sqrt[3]{\frac{1}2 - \sqrt{\frac{283}{108}}}}2\, \sqrt3}{\frac{\sqrt[3]{\frac{1}2 + \sqrt{\frac{283}{108}}}+\sqrt[3]{\frac{1}2 - \sqrt{\frac{283}{108}}}}2})+2k\pi}{2}}}}) \end{eqnarray}$ Diese Lösung ist nicht nur furchtbar kompliziert, sondern besitzt auch eine "Exkursion" in die komplexe Zahlenebene - leider habe ich keine Möglichkeit gefunden, den imaginären Anteil wegzukürzen, damit das relle Ergebnis 0,72 herauskommt. Ich habe auch bereits Ferrari's Lösung probiert, leider komme ich auch nicht auf's Ergebnis. Und dann habe ich noch diese Formel angewandt: http://planetmath.org/encyclopedia/QuarticFormula.html Ergebnis: $\begin{eqnarray} r_3 = \frac{1}{2}\sqrt{\frac{-12\cdot\sqrt[3]{2}}{3\sqrt[3]{27+3\sqrt{849}}}+\sqrt[3]{\frac{27+3\sqrt{849}}{54}}-\frac{1}{2}\sqrt{-\frac{-12\cdot\sqrt[3]{2}}{3\cdot\sqrt[3]{27+3\sqrt{849}}}}-\sqrt[3]{\frac{\sqrt[3]{27+3\sqrt{849}}}{54}}+\frac{-8}{4\sqrt{\frac{-12\cdot\sqrt[3]{2}}{3\sqrt[3]{27+3\sqrt{849}}}+\sqrt[3]{\frac{27+3\sqrt{849}}{54}}}}} \end{eqnarray}$ Dies habe ich mit dem Web2.0Calc nachgerechnet, leider kommt ein ganz anderes Ergebnis raus. Gruß blackdrake

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