Ableitung und Stammfunktion einer ln-Funktion

14.12.2010, 19:36

Eldorado

Ableitung und Stammfunktion einer ln-Funktion

Meine Frage:
Bilden Sie die erste Ableitung und die Stammfunktion
$\begin{eqnarray*} f(x) = (x-4) * ln(x^2)[l/atex] Meine Ideen: Produktregel: u' * v + u * v' [latex]f'(x) = 1 * ln(x^2) + (x-4) * 2x/x^2 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} f'(x) = ln(x^2) + (2x-8)/x \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} f'(x) = ln(x^2) + 2 - 8/x \end{eqnarray*}$

stimmt das so? kann man das noch weiter zusammen fassen?

Partielle Integration!?
$\begin{eqnarray*} u= ln(x^2) \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} u'= \frac{2x}{x^2} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} v'= x-4 \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} v = frac{1}{2x^2}-4x \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \int\! ln(x^2)*(x-4) \, dx = ln(x^2)*(\frac{1}{2} x^2-4x) - \int \! \frac{1}{2} x^2-4x * \frac{2x}{x^2}\, dx \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} = ln(x^2)*(\frac{1}{2} x^2-4x) - \frac{1}{6}x^3-2x^2 - ln(x^2) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} = (\frac{1}{2} x^2-4x) - (\frac{1}{6}x^3-2x^2) \end{eqnarray*}$

selbe Frage wie oben: stimmt das so? wie kann man das noch weiter zusammen fassen?

14.12.2010, 19:40

Eldorado

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Sorry, mir ist bei der Eingabe ein Fehler unterlaufen ([l/atex] statt [/latex]). Hie der nicht sichtbare Teil:

Bilden Sie die erste Ableitung und die Stammfunktion
$\begin{eqnarray*} f(x) = (x-4) * ln(x^2) \end{eqnarray*}$

Produktregel: u' * v + u * v'
$\begin{eqnarray*} f'(x) = 1 * ln(x^2) + (x-4) * 2x/x^2 \end{eqnarray*}$

15.12.2010, 08:30

klarsoweit

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RE: Ableitung und Stammfunktion einer ln-Funktion
Ich kann dir zumindest eine rege mathematische Phantasie bescheinigen. Augenzwinkern

Zitat:

Original von Eldorado
$\begin{eqnarray*} \int\! ln(x^2)*(x-4) \, dx = ln(x^2)*(\frac{1}{2} x^2-4x) - \int \! \frac{1}{2} x^2-4x * \frac{2x}{x^2}\, dx \end{eqnarray*}$

Hättest du hier Klammern gesetzt, wäre alles in bester Ordnung gewesen:

$\begin{eqnarray*} \int\! ln(x^2)*(x-4) \, dx = ln(x^2)*(\frac{1}{2} x^2-4x) - \int \! (\frac{1}{2} x^2-4x) * \frac{2x}{x^2}\, dx \end{eqnarray*}$

Zitat:

Original von Eldorado
$\begin{eqnarray*} = ln(x^2)*(\frac{1}{2} x^2-4x) - \frac{1}{6}x^3-2x^2 - ln(x^2) \end{eqnarray*}$

Aber auch trotz fehlender Klammern sollte dir auffallen, daß $\begin{eqnarray*} -2x^2 - ln(x^2) \end{eqnarray*}$ keine Stammfunktion von $\begin{eqnarray*} -4x * \frac{2x}{x^2} \end{eqnarray*}$ ist. Aber wenn man das auch noch ignoriert, solltest du wenigstens wegen dem Minus vor dem Integral wieder mal Klammern setzen:

$\begin{eqnarray*} = ln(x^2)*(\frac{1}{2} x^2-4x) - (\frac{1}{6}x^3-2x^2 - ln(x^2)) \end{eqnarray*}$

Zitat:

Original von Eldorado
$\begin{eqnarray*} = (\frac{1}{2} x^2-4x) - (\frac{1}{6}x^3-2x^2) \end{eqnarray*}$

Wie du dann auf dieses kommst, wo der ln auf geheimnisvolle Weise verschwunden ist, bleibt dann dein Geheimnis.

15.12.2010, 16:26

Eldorado

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Hi,
Danke für deine Antwort. Ja, ich war gestern Abend etwas durch, deswegen habe ich wohl so einen Mist gemacht.

Die Mathe-Arbeit heute ist aber gut gelaufen, von daher bin ich optimistisch.

Gruß
Eldorado

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