absolute Konvergenz alternierende Reihe

14.12.2010, 20:33

Potzfritz

absolute Konvergenz alternierende Reihe

Meine Frage:
Hallo!
Ich habe hier folgende Aufgabe, mit der ich nicht zurechtkomme...:
Ich soll zeigen, dass die Reihe
$\begin{eqnarray*} C(x):=\sum\limits_{k=0}^\infty \frac{(-1)^{n} }{(2n)!} \cdot x^{2n} \end{eqnarray*}$
für alle x Element der reellen Zahlen absolut konvergiert.

Meine Ideen:
Was ich rausgefunden habe, ist, dass due Funktion eine alternierende Reihe ist und das man das wohl mit dem Leibnitzkriterium prüfen muss?!

ABSOLUT konvergieren heißt, $\begin{eqnarray*} a_n \end{eqnarray*}$ muss eine Nullfolge sein, richtig?!

Außerdem: Um das Leibnitzkriterium anzuwenden, muss ich zeigen, dass die Folge $\begin{eqnarray*} a_n \end{eqnarray*}$ eine monoton fallende Nullfolge ist, oder?

So, das wären meine ersten Fragen, die bei mir aufgetaucht sind...

Ich hoffe, dass mir heute noch jemand helfen kann! Augenzwinkern

Vielen Dank schonmal jetzt dafür!

14.12.2010, 20:41

tmo

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RE: absolute Konvergenz alternierende Reihe

Zitat:

Original von Potzfritz
Was ich rausgefunden habe, ist, dass due Funktion eine alternierende Reihe ist und das man das wohl mit dem Leibnitzkriterium prüfen muss?!

ABSOLUT konvergieren heißt, $\begin{eqnarray*} a_n \end{eqnarray*}$ muss eine Nullfolge sein, richtig?!

Das ist beides falsch.

Absolute Konvergenz von $\begin{eqnarray*} \sum_{k=0}^\infty b_n \end{eqnarray*}$ heißt, dass $\begin{eqnarray*} \sum_{k=0}^\infty |b_n| \end{eqnarray*}$ konvergiert.

D.h. dass Leibnizkriterium ist hier Fehl am Platz, da man bei der absoluten Konvergenz immer die Reihe über die Beträge betrachtet, sprich nur positive Glieder werden summiert.

14.12.2010, 20:45

Philipp Imhof

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RE: absolute Konvergenz alternierende Reihe
Das Leibnizkriterium hast du korrekt beschrieben. Hier würde ich dir aber das Quotientenkriterium empfehlen.

Nebenbei: Hast du gemerkt, dass das eine ganz besondere Reihe ist? (Cosinus)

Was die Nullfolge angeht: Die Nullfolge ist ein notwendiges, aber nicht hinreichendes Kriterium für die Konvergenz der zugehörigen Reihe. Ob es um absolute Konvergenz geht, ist da nicht relevant.

Bei Folgen ist absolute Konvergenz "weniger streng" (es gibt nicht-konvergente Folgen, die absolut konvergieren). Bei Reihen ist die absolute Konvergenz "strenger" (es gibt Reihen, die zwar konvergieren, aber nicht absolut konvergieren)

EDIT:
Ich habe vergessen zu erwähnen, dass du mit dem Leibniz-Kriterium nur Konvergenz, aber nicht absolute Konvergenz nachweisen kannst, denn die absolute Reihe ist ja nicht mehr alternierend.

14.12.2010, 20:50

Potzfritz

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RE: absolute Konvergenz alternierende Reihe
Okay, vielen Dank soweit, das probiere ich dann jetzt mal - mit dem Quotientenkriterium...

Mit der Kosinusfkt. - das habe ich inzwischen mitbekommen! Augenzwinkern

(Aber es hilft mir dann im Moment für die Aufgabe nicht weiter, oder?)

[Und zur absoluten Konvergenz: Ich glaube ich habe mich vertan und hätte wenn dann sagen müssen:
WENN eine Reihe absolut kovegiert, DANN ist $\begin{eqnarray*} a_n \end{eqnarray*}$ eine Nullfoge.. oder? Aber gut, das ist ja dann jetzt erstmal nicht weiter relevant...]

14.12.2010, 21:16

Potzfritz

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RE: absolute Konvergenz alternierende Reihe
So, hier kommt dann mal mein Versuch:

zuerst ist zu prüfen, ob $\begin{eqnarray*} a_n \neq 0 \end{eqnarray*}$ --> Das ist offensichtlich erfüllt, da weder der Bruch $\begin{eqnarray*} \frac{(-1)^{n}}{(2n)!} \end{eqnarray*}$ noch $\begin{eqnarray*} x^{2n} \end{eqnarray*}$ 0 ergeben können ...

dann ist zu prüfen, ob $\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty } | \frac{a_{n+1}}{a_n} | <1 \end{eqnarray*}$ gilt:

$\begin{eqnarray*} | \frac{a_{n+1}}{a_n} | =| \frac{ \frac{(-1)^{n+1} }{(2(n+1))!}\cdot x^{2n+2} }{\frac{(-1)^{n} }{(2n)!} \cdot x^{2n} } | \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} =| \frac{(-1)^{n+1} }{(2(n+1))!}\cdot x^{2n+2} \cdot \frac{(2n)!}{(-1)^{n}\cdot x^{2n}} | \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} = | \frac{(-1)^{n}\cdot (-1)\cdot x^{2n}\cdot x^{2} \cdot (2n)!}{(2n+2)!\cdot (-1)^{n}\cdot x^{2n}} | = | \frac{(-1)x^{2}\cdot (2n)!}{(2n)!(2n+1)(2n+2)} | = | \frac{(-1)}{4n^{2}+6n+2}\cdot x^{2} | \end{eqnarray*}$

Und dann ist der Limes von $\begin{eqnarray*} | \frac{(-1)}{4n^{2}+6n+2}\cdot x^{2} | \end{eqnarray*}$ =0 (unabhängig vom x) unddas ist kleiner als 1 --> somit konv. die Reihe absolut!

Stimmt das so?Geht das so?

15.12.2010, 09:08

klarsoweit

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RE: absolute Konvergenz alternierende Reihe

Zitat:

Original von Potzfritz
zuerst ist zu prüfen, ob $\begin{eqnarray*} a_n \neq 0 \end{eqnarray*}$ --> Das ist offensichtlich erfüllt, da weder der Bruch $\begin{eqnarray*} \frac{(-1)^{n}}{(2n)!} \end{eqnarray*}$ noch $\begin{eqnarray*} x^{2n} \end{eqnarray*}$ 0 ergeben können ...

Nun ja, für x=0 schon, aber der Fall ist eh trivial. Augenzwinkern

Zitat:

Original von Potzfritz
Stimmt das so?Geht das so?

Im Prinzip ja, aber spätestens bei $\begin{eqnarray*} | \frac{(-1)x^{2}\cdot (2n)!}{(2n)!(2n+1)(2n+2)} | \end{eqnarray*}$ könntest du die -1 mal weglassen, da die wegen dem Betrag eh keine Auswirkung hat.

15.12.2010, 19:36

Potzfritz

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RE: absolute Konvergenz alternierende Reihe
Dankeschön! Augenzwinkern

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